2．已知函数f(x)= (a＞0,x＞0). (1)求证:f(x)在上是增函数, (2)若f(x)≤2x在上恒成立.求a的取值范围, (3)若f(x)在［m,n］上的值域是［m,n］(m≠n).——青夏教育精英家教网—

2．已知函数f(x)= (a＞0,x＞0).

(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数；

(2)若f(x)≤2x在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围；

(3)若f(x)在［m,n］上的值域是［m,n］(m≠n)，求a的取值范围.

1．某建筑的金属支架如图所示，根据要求至少长2.8m，为的中点，到的距离比的长小0.5m，，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计的长，可使建造这个支架的成本最低？

3．(1) 函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。函数问题(例如求函数的值域等)可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点。

(2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。

(3) 数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要。

(4) 解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论。

(5) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。

[思想方法]

[例1](2009年高考山东卷理科第20题)

等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数的图像上.

(Ⅰ)求r的值；　　　

(Ⅱ)当b=2时，记　　　

证明：对任意的，不等式成立

[解析](Ⅰ) 由题意知: ,

当时,,

由于且所以当时, {}是以为公比的等比数列,

又,,即解得.

　(Ⅱ)∵,∴当时,,

又当时, ,适合上式,∴,,

∴,

下面用数学归纳法来证明不等式:

证明:(1)当时,左边=右边,不等式成立.

(2)假设当时,不等式成立,即,

则当时,

不等式左边=

所以当时,不等式也成立,

综上(1)(2)可知:当时,不等式恒成立,

所以对任意的,不等式成立.

[例2]如图，椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，M、N是椭圆右准线上的两个动点，且.

(1)设C是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆C的位置关系；

　　(2)设椭圆的离心率为，MN的最小值为，求椭圆方程.

[解](1)设椭圆的焦距为2c(c>0)，

则其右准线方程为x＝，且F₁(－c, 0),　F₂(c, 0).　、

设M，

则＝.　　　　　　　　　　　　

因为，所以，即.

　　于是，故∠MON为锐角.

所以原点O在圆C外. 　　

　　 (2)因为椭圆的离心率为，所以a=2c，

　　于是M ，且　

MN²＝(y₁－y₂)²＝y₁²+y₂²－2y₁y₂.

当且仅当 y₁＝－y₂＝或y₂＝－y₁＝时取“=”号，　

所以(MN)_min= 2c＝2，于是c=1, 从而a＝2，b＝，

故所求的椭圆方程是.

[例3]已知函数f(x)=x²–(m+1)x+m(m∈R)

(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证：m≥5;

(2)对任意实数α,恒有f(2+cosα)≤0，证明m≥3;

(3)在(2)的条件下，若函数f(sinα)的最大值是8，求m.

解析：(1)证明：f(x)+4=0即x²–(m+1)x+m+4=0.依题意：

　又A、B锐角为三角形内两内角

∴＜A+B＜π

∴tan(A+B)＜0，即

∴∴m≥5

(2)证明：∵f(x)=(x–1)(x–m)

又–1≤cosα≤1，∴1≤2+cosα≤3，恒有f(2+cosα)≤0

即1≤x≤3时，恒有f(x)≤0即(x–1)(x–m)≤0

∴m≥x但x_max=3，∴m≥x_max=3

(3)解：∵f(sinα)=sin²α–(m+1)sinα+m=

且≥2,∴当sinα=–1时，f(sinα)有最大值8.

即1+(m+1)+m=8，∴m=3

[例4]某厂家拟在2009年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件. 已知2009年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．