2．下面语段中画线的词语，使用不恰当的一项是

书籍具有不朽的本质，在人类所有的奋斗中，惟有书籍最能经受岁月的磨蚀。庙宇与雕像在风雨中颓毁坍塌了，而经典之籍则与世长存。伟大的思想能挣脱时光的束缚，即使是千百年前的真知灼见，时至今日新颖如故，熠熠生辉。只要拂动书页，当时所言便洗耳恭听。时间的作用淘汰了粗劣制品。就文学而言，只有经典明言(明智睿哲的话)方能经久传世。

A．与世长存　　 B．真知灼见　 C．熠熠生辉　 D．洗耳恭听

1．下列词语中加点的字，每对读音都不相同的一项是

A．倔强/坚强　　 　蛮横/纵横 　　泥土/拘泥

B．诽谤/菲薄 　　　淘汰/陶冶　 　　濒临/颁布

C．给予/供给　 　　畸形/崎岖　 　　证券/案卷

D．废品/消费　 　　竣工/逡巡　 　　蔚蓝/欣慰

8．球的内接正多面体和外切正多面体的中心均为球心。球的内接长方体的体对角线是球的直径，球的外切正方体的边长是球的直径，与边长为a的正方体各条棱都相切的球的直径为a；边长为a的正四面体的内切球的半径为(正四面体高的)，外接球的半径为

。

[举例]已知棱长为a的正四面体ABCD有内切球O，经过该棱锥A-BCD三侧棱中点的截面为，则O到平面的距离为　　　 。

解析：记棱锥A-BCD的高为AO₁，O在AO₁上且OO₁=AO₁；AO₁与面交于M，则

MO₁=AO₁，故MO= OO₁=AO₁=

[巩固] 半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点，则与两点间的球面距离为　　　 (　　 )　 (07高考安徽理8)

A．　　 B．　　　 C．　　　　 D．

7．球面上两点间的球面距离是“球心角”(两点与球心的连线段的夹角)的弧度数与球的半径的积。

[举例] 设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是，且二面角B-OA-C的大小为，则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是：

(A)　　　　　　　　　 (B)　　　　　　　　　 (C)　　　　　　　　 (D)　　　　　　　

(07高考四川理6)

解析：∵球O的半径是1，A到B、C两点的球面

距离都是，∴∠AOB=∠AOC=，∴∠BOC就是

二面角B-OA-C的平面角，∴∠BOC =，故B、C

两点间的球面距离为；从A点沿球面经B、C两点

再回到A点的最短距离即A、B、C两两间的球面距离之和，故选C。

注：本题容易误以为所求的“最短距离”是⊿ABC的外接圆的周长；读者不妨求求该周长，倒是很好的锻炼(先求⊿ABC的三边的长，再用正弦定理)。

[巩固] 顶点在同一球面上的正四棱柱中，，则两点间的球面距离为(　　 )(07高考福建理8)

A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　 D．

6．求多面体的外接球半径一般需确定球心的位置；长方体(正方体)的对角线是其外接球的直径；将多面体“补”成长方体(正方体)是研究多面体外接球的常用的办法。

[举例1] 三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，若PA=AC=，则该三棱锥的外接球的体积是　　　 。

解析：思路一：“找球心”(到三棱锥

四个顶点距离相等等的点)。

注意到PC是Rt⊿PAC和Rt⊿PBC的

公共的斜边，记它的中点为O，

则OA=OB=OP=OC=PC=1，即该三棱锥

的外接球球心为O，半径为1，故它的体积为：

方法二：“补体”，将三棱锥补成长方体，如图所示；它的对角线PC是其外接球的直径。

[举例2]正四棱锥P-ABCD的五个顶点在同一球面上，

若该正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则

这个球的表面积为　　　 。

解析：正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO₁上，

记为O，PO=AO=R，PO₁=4，OO₁=R-4，或OO₁=4-R(此时O

在PO₁的延长线上)，在Rt⊿AO₁O中，R²=8+(R-4)²得R=3，∴球的表面积S=36

[巩固1] 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4和3，那么它的外接球的体积是 　　　　。

[巩固2] 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是：(　　 )　　　　　　　　　 (07高考陕西理6)

　　(A)　　　 　(B)　　　　 　(C) 　　　　(D)

[迁移]点P在直径为2的球面上，过P两两垂直的3条弦，若其中一条弦长是另一条的2倍，则这3条弦长之和的最大值是　　　　　 。

5．平面截球所得到的截面是圆，圆心与球心的连线垂直于截面；截面圆的半径、圆心与球心的连线段、球的半径所构成的直角三角形是解决球的截面问题的“核心”图形。

[举例]如图，已知A，B，C是表面积为48的球面上的

三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60⁰，O为球心，则二面角O-AB-C

的大小为：　　　　　　 　　　　　　　　　　(　　 )

A．　　　 B．　　 C．arccos　　 D．arccos

解析：球的半径为；⊿ABC为直角三角形，斜边BC是其外接圆的直径，记BC的中点为O₁，则OO₁⊥面ABC，在Rt⊿OO₁B中，OB=，

BO₁=2，∴OO₁=；取AB中点D，连OD、O₁D，则AB⊥OD，AB⊥O₁D，

∴∠ODO₁是二面角O-AB-C的平面角，在Rt⊿ABC中O₁D=AC=

故在Rt⊿OO₁D中，OD=,cos∠ODO₁=,∴∠ODO₁= arccos,选D。

[巩固]过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与求的表面积的比为　　　 。

4．解决多面体表面上两点间距离最小值的问题，常运用侧面展开法，转化为平面图形两点间距离处理。(多面体展开时要注意各种不同的展开方式)。

[举例] 在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=，BB₁=2，∠ABC=90⁰，E、F分别为AA₁、

C₁B₁的中点，求沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度。

解析：题中E、F分别在AA₁、C₁B₁上，所以“展开”后的图形中必须有AA₁、C₁B₁；故“展开”方式有以下四种：

(ⅰ)沿CC₁将面ACC₁A₁和面BCC₁B₁展开至同一平面，如图4-1，求得：EF²=；(ⅱ)沿BB₁将面ABB₁A₁和面BCC₁B₁展开至同一平面，如图4-2，求得：EF²=；

(ⅲ)沿A₁B₁将面ABB₁A₁和面A₁B₁C₁展开至同一平面，如图4-3，求得：EF²=；

(ⅳ)沿A₁C₁将面ACC₁A₁和面A₁C₁B₁展开至同一平面，如图4-4，求得：EF²=；

可见EF的最小值为。

[巩固]在正三棱锥S-ABC中，SA=1，∠ASB=30⁰，过点A作三棱锥的截面AMN，求截面AMN周长的最小值.

3．求多面体的体积常用“割补法”，关注组成多面体的个部分体积之间的比例关系；如同底等高的“柱”是“锥”的体积的3倍；求“锥”的体积关键是“高”，“等积转换”是常用的办法。

[举例1]以平行六面体相邻两个面上相互异面的两条对角线的端点为顶点的四面体的体积是平行六面体的体积的：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A． 　　　B．　　　 C．　　　　 D．

解析：如图，以A₁B和B₁C的端点为顶点的四面体是

三棱锥A₁-BB₁C，将原平行六面体视为四棱柱

ADD₁A₁-BCC₁B₁，易见三棱锥的底面积是四棱柱

的底面积的一半，高相等，故三棱锥的体积是

四棱柱的体积的，选A。

[举例2] 如图3-1是一个直三棱柱(以为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，，．求此几何体的体积．(07高考江西理20)

解析：过作截面面，分别

交,于,．如图3-2，

原几何体可视为四棱锥B-ACC₂A₂

与三棱柱A₁B₁C₁-A₂BC₂的组合体。

作于，则BH是四棱锥

的高，，

=1；故所求几何体体积为。

[巩固1]在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ABB₁是菱形，侧面BCC₁B₁是矩形，C₁B₁⊥AB，求平面C₁AB₁把棱柱分成两部分的体积的比。

　 [巩固2] 如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是

边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，

EF//AB，EF=2，则该多面体的体积为(　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．

2．关注长方体对角线的性质：①长方体的对角线与过一个顶点的三条棱所成角的余弦的平方和为1；②长方体的对角线与过一个顶点的三个面所成角的余弦的平方和为2；

[举例]已知锐角、、满足：cos²+ cos²+ cos²=1,则tantantan的最小值为　　　　　　 。

解析：本题若考虑三角变换，将不胜其烦；由cos²+ cos²+ cos²=1联想到锐角、、是长方体的对角线与过一个顶点的三条棱所成角，记该长方体过一个顶点的三条棱长分别为a、b、c,则tantantan=≥

=，当且仅当a=b=c时，等号成立。

[巩固]已知空间三平面、、两两垂直，直线与平面、所成的角都是30⁰，则直线与平面所成的角是　　　 。