2．(本小题满分13分)

已知函数，

数列满足

　　 (I)求数列的通项公式；

　　 (II)设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求；

　　 (III)在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由.

　　 (IV)请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值.

解：(I)

　　 　　　　　　　　　　　 ……1分

　　 ……

　　 将这n个式子相加，得

　　 　　　　　　　　　　　 ……3分

　　 (II)为一直角梯形(时为直角三角形)的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为1

　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 ……6分

　　 (III)设满足条件的正整数N存在，则

　　 又

　　 均满足条件

　　 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.

　　 设共有m个满足条件的正整数N，则，解得

　　 中满足条件的正整数N存在，共有495个，　　　　 ……9分

　　 (IV)设，即

　　 则

　　 显然，其极限存在，并且　　　 ……10分

　　 注：(c为非零常数)，等都能使存在.

1．(本小题满分13分)

　如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点.

　　 (I)求证：；

　　 (II)若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程；

　　 (III)在(II)的条件下，直线过点A(0，1)与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明.

解：(I)右准线，渐近线

　　 ，

　　 　　　　　　　　 ……3分

　　 (II)

双曲线C的方程为：　　　　　　　 ……7分

　　 (III)由题意可得　　　　　　　　　　 　　　 ……8分

　　 证明：设，点

　　 由得

　　 与双曲线C右支交于不同的两点P、Q

　　 　　　　　　　　　　　　　　 ……11分

　　 ，得

的取值范围是(0，1)　　　　　　　　　　　　　　 ……13分

20．如图2-34所示，一矩形管中(管长为l，两侧面为导电面，并有导线在外面与之相连，上下面则为绝缘面)有电阻率为ρ的水银流动，当其一端加上压强p时，水银的流速为v₀.现在竖直方向加上磁感应强度为B的匀强磁场.试证明：此时水银的流速为

.(设水银的速度与压强成正比)

18．A、B两带电小球，A固定不动，B的质量为m.在库仑作用下，B由静止开始运动.已知初始时A、B间的距离为d，B的加速度为a。经过一段时间后，B的加速度变为a/4，此时A、B间的距离应为　　　 .已知此时B的速度为v，则在此过程中电势能的减少量为　　　 .

　 19．如图2-33所示，是电磁流量计的示意图，在非磁性材料做成的圆管道外加一匀强磁场区域，当管中的导电液体流过磁场区域时，测出管壁上、下表面两点a、b间的电动势为ε，从而可求出管中液体在单位时间内的流量Q.已知圆管的内径为D，磁感应强度为B，试推导出Q与ε的关系表达式.

16．如图2-31是容器的截面图，它是由A、B两部分构成，两部分都是圆筒形，高度都是h，底面积S_B=S，S_A=2S，容器下端有一小孔a与大气相通，上端开口，B中有一质量为m厚度不计的活塞，它与B的器壁有摩擦，最大摩擦力为f(f)mg，开始时活塞N位于B的最下端，已知大气压强为p₀，当时温度为T₀，现把a孔封闭，为保证封闭气体不与外界相通，筒中气体温度允许在多大范围内变化？

　 17．如图2-32所示，长为2l的圆形筒形气缸可沿摩擦因数为μ的水平面滑动，在气缸中央有一个截面积为S的活塞，气缸内气体的温度为T₀，压强为p₀(大气压强也为p₀).在墙壁与活塞之间装有劲度系数为k的弹簧，当活塞处于如图位置时，弹簧恰好在原长位置.今使气缸内气体体积增加一倍，问气体的温度应达到多少？(气缸内壁光滑，活塞和气缸总质量为m).

15．图2-30中竖直圆筒是固定不动的，粗筒横截面积是细筒的4倍，细筒足够长.粗筒中A、B两轻质活塞间封有空气，气柱长l=20厘米.活塞A上方的水银深H=10厘米，两活塞与筒壁间的摩擦不计.用外力向上托住活塞B，使之处于平衡状态，水银面与粗筒上端相平.现使活塞B缓慢上移，直至水银的一半被推入细筒中，求活塞B上移的距离(设在整个过程中气柱的温度不变，大气压强p₀相当于75厘米高的水银柱产生的压强).

14．如图2-29所示，可沿气缸壁自由活动的活塞将密封的圆筒形气缸分隔成A、B两部分.活塞与气缸顶部有一弹簧相连.当活塞位于气缸底部时弹簧恰好无形变，开始时B内充有一定量的气体，A内是真空，B部分高度为l₁=0.10米，此时活塞受到的弹簧作用力与重力的大小相等.现将整个装置倒置.达到新的平衡后B部分的高度L₂于多少？设温度不变.

13．如图2-28所示，一三角木块ABC置于光滑水平面上，两斜边与平面夹角分别为30°、60°.在斜边上有两个物体m₁、m₂，用不可伸长的细绳连接并跨在顶点A的定滑轮上，m₁、m₂可在斜面上无摩擦地滑动.已知木块的质量为M，三物体的质量比为m₁:m₂:M=4:1:16，滑轮光滑且质量可忽略.

(1)求M的加速度a及m₁相对于M的加速度a′

(2)若m₁从静止开始沿斜面移动20cm，求M沿水平面移动的距离.

12．如图2-27所示，四个质量均为m的质点，用同样长度且不可伸长的轻绳连结成菱形ABCD，静止放在水平光滑的桌面上.若突然给质点A一个力时极短沿CA方向的冲击，当冲击结束的时刻，质点A的速度为V，其他质点也获得一定的速度，.求此质点系统受到冲击后所具有的总动量和总能量.

6．在光滑水平面上有一木板，一木棒A、B可沿水平轴O转动，其下端B搁在木板下，而整个系统处于静止状态(如图2-21所示).现在用水平力F向左推木板，但木板仍未动.由此可以得出结论：施力F后，木板和木棒之间的正压力(　　 )

A．变大　　　　　　　　　 B．不变　　　　　　　　　

C．变小　　　　　　　　　 D．条件不足，不能判断如何改变

　 7．如图2-22所示，两木块的质量分别为m₁和m₂，两轻质弹簧的劲度系数分别为k₁和k₂，上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接)，整个系统处于平衡状态.现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧，在这过程中下面木块移动的距离为(　　 )

A．m₁g/k₁　　　　　　　　 B．m₂g/k₁　　　　　　　　

C．m₁g/k₂　　　　　　　　 D．m₂g/k₂

　 8．如图2-23，质量为2m的物块A与水平地面的摩擦可忽略不计，质量为m的物块B与地面的摩擦系数为μ.在已知水平推力F的作用下，AB做加速运动，A对B的作用力为　 .

　 9．如图2-24所示，两块木块A和B，质量分别为m_A和m_B，紧挨着并排在水平桌面上，AB间的接触面垂直于图中纸面且与水平面成θ角。A、B间的接触面是光滑的，但它们与水平桌面间有摩擦，静摩擦系数和滑动摩擦系数均为μ.开始时A、B都静止，现施一水平推力F于A.要使A、B向右加速运动且A、B之间不发生相对滑动，则

(1)μ的数值应满足什么条件？

(2)推力F的最大值不能超过多少？

(只考虑平动，不考虑转动问题)

　 10．系统如图2-25所示，滑轮与绳的质量忽略，绳不可伸长。设系统所有部位都没有摩擦，物体B借助导轨(图中未画出来)被限定沿物体C的右侧面运动，试求物体C的运动加速度。

　 11．质量分别为m₁、m₂和m₃的三个质点A、B、C位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不可伸长的柔软的轻绳AB和BC连接，角ABC为为一锐角，如图2-26所示，今有一冲量为I的冲击力沿BC方向作用于质点C，求质点A开始运动时的速度.