4.不等式的解法

(1)作用与地位

解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形”，是研究数学的基本手段之一。

高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比例。

(2)一元一次不等式(组)及一元二次不等式(组)

解一元一次不等式(组)及一元二次不等式(组)是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。

(3)高次不等式

解高次不等式常用“数轴标根法”。一般地，设多项式

F(x)=a(x－a₁)(x－a₂)…(x－a_n)　 (a≠0)

它的n个实根的大小顺序为a₁<a₂<…<a_n，把数轴分成n+1个区间：

(－∞,a₁)，(a₁,a₂)，…，(a_n－1,a_n),(a_n,+∞)

自右至左给这些区间编上顺序号，则当a>0时有：

①在奇数区间内，F(x)>0。

②在偶数区间内，F(x)<0

(4)分式不等式

分式不等式的等价变形：

>0f(x)·g(x)>0

≥0

(5)无理不等式

两类常见的无理不等式等价变形：

≥g(x) 或

<g(x)

(6)指数不等式与对数不等式

①当0<a<1时

a^(fx)>a^g(x)f(x)<g(x)

②当a>1时

a^(fx)>a^g(x)f(x)>g(x)

log_af(x)>log_ag(x)f(x)>g(x)>0

(7)含参数不等式

对于解含参数不等式，要充分利用不等式的性质。对参数的讨论，要不“重复”不“遗漏”。

3.不等式的证明

(1)作用地位

证明不等式是数学的重要课题，也是分析、解决其他数学问题的基础，特别是在微积分中，不等式是建立极限论的理论基础。

高考中，主要涉及“a,b>0时，a+b≥2”这类不等式，以及运用不等式性质所能完成的简单的不等式的证明。用数学归纳法证明的与自然数有关命题的不等式难度较大。

(2)基本不等式

定理1：如果a,b∈{x|x是正实数}，那么≥(当且仅当a=b时取“=”号)

定理2：如果a,b,c∈{x|x是正实数}，那么≥(当且仅当a=b=c时取“=”号)

定理3：如果a、b∈{x|x是正实数}，那么

≤≤≤

(当且仅当a=b时取“=”号)

推论4：如果a,b,c∈{x|x是正实数}，那么

≤≤≤

(当且仅当a=b=c时取“=”号)

由上述公式还可衍生出一些公式

①4ab≤(a+b)²≤2(a²+b²),a、b∈R(当且仅当a=b时等号成立)

②a²+b²+c²≥ab+bc+ca,a,b,c∈R(当且仅当a=b=c时等号成立)

③a²+b²+c²≥(a+b+c)²≥ab+bc+ca,a,b,c∈R(当且仅当a=b=c时等号成立)

④|+|≥2(当且仅当|a|=|b|时取“=”号)

⑤a>0,b>0,a+b=1，则ab≤等。

(4)不等式证明的三种基本方法

①比较法：作差比较，根据a－b>0a>b，欲证a>b只需证a－b>0；作商比较，当b>0时，a>b>1。比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比较(如幂、方根等)。

②分析法：从求证的不等式出发寻找使该不等式成立的充分条件。对于思路不明显，感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径。

③综合法：从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形(恒等变形或不等变形)推导出要求证明的不等式。

2.不等式的性质

(1)作用地位

不等式性质是不等式理论的基本内容，在证明不等式、解不等式中都有广泛的应用。高考中，有时直接考查不等式的性质，有时间接考查性质(如在证明不等式、解不等式中就间接考查了掌握不等式性质的程度)。准确地认识、运用基本性质，并能举出适当反例，能辨别真假命题是学好不等式的要点。

(2)基本性质

实数大小比较的原理与实数乘法的符号法则是不等式性质的依据。在不等式性质中，最基本的是：

①a>bb<a(对称性)

②a>b,b>ca>c(传递性)

③a>ba+c>b+c(数加)

④

(a>b,c=0a·c=b·c)

与等式相比，主要区别在数乘这一性质上，对于等式a=bac=bc，不论c是正数、负数还是零，都成立，而对于不等式a>b，两边同乘以c之后，ac与bc的大小关系就需对c加以讨论确定。这关系即使记得很清楚，但在解题时最容易犯的毛病就是错用这一性质，尤其是需讨论参数时。

(3)基本性质的推论

由基本性质可得出如下推论：

推论1：a>b>0,c>d>0ac>bd

推论2：a>b>0,c>d>0

推论3：a>b>0aⁿ>bⁿ(n∈N)

推论4：a>b>0(n∈N)

对于上述推论可记住两点：一是以上推论中a,b,c,d均为正数，即在{x|x是正实数}中对不等式实施运算；二是直接由实数比较大小的原理出发。

1.不等式知识相互关系表

3.会用不等式||a|－|b||≤|a+b|≤|a|+|b|。

2.在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法的基础上初步掌握其他的一些简单的不等式的解法。

1.掌握不等式的性质及其证明，掌握证明不等式的几种常用方法，掌握两个和三个(不要求四个和四个以上)“正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这两个定理，并能运用上述性质、定理和方法解决一些问题。

不等式，不等式的性质，不等式的证明，不等式的解法，含有绝对值的不等式。

22.设f(x)=ax²+bx+c，若f(1)=，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式：

x²+≤f(x)≤2x²+2x+对一切实数x都成立，证明你的结论。

21.已知函数f(x)=x²+px+q，对于任意θ∈R,有f(sinθ)≤0，且f(sinθ+2)≥0；

(1)求p、q之间的关系式；

(2)求p的取值范围；

(3)如果f(sinθ +2)的最大值是14，求p的值，并求此时f(sinθ)的最小值。