[分析]　 本题主要考查二项式定理的应用，以及基本的计算技能．

直接利用二项展开式的通项公式，便可求得的系数，如解法1．由于二项式中的两个项都含有x，因此将其适当变形，有利于简化计算，如解法2．试题的这种设计，体现了对计算灵活性和准确性的要求．

解法1　 设所求系数为a，则由二项展开式的通项公式，知存在非负整数r，使

解得r=3，所求系数为

解法2　 因为

14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆，6 000辆和2 000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取____________，_______________，____________辆．

[分析]　 本题主要考查分层抽样方法在产品质量检验中的应用，以及简单的数值计算技能．

设三种型号的轿车抽取数依次为x，y，z辆．根据分层抽样方法的原理，知

这个方程组可用不同方法求解．

解法1　 由比例式知存在常数k满足

解法2　 由此例式得

　　　　　　　　 60x=12y，

　　　　　　　　 20x=12z，

[答案]　 6，30，10

12．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为

A．3π　　　　　 B．4π　　　　　　　　 　　　　　　　 D．6π

[分析]　 本题主要考查正多面体和球的基本知识，以及空间想象能力和几何计算能力．

本题给出棱长为的正四面体，要求推断外接球的表面积．为此，必须先求该球的半径，宜作图进行推算或估算．为了图像清晰，可只作正四面体进行讨论，不画出球的图线．如附图，四面体ABCD各棱长都为．

解法1　 如图，点O为球心，OA、OB、OC、OD都是球的半径，因为ABCD是正四面体，所以这四条半径的两两夹角彼此相等，设其大小为θ．

由空间中的一点O，引四条射线，两两的夹角都等于θ，则有

据此，可排除选项B、C和D，应取A作答．

解法2　 如图，过A作AE⊥面BCD，E是垂足．连结EB，则EB是正△BCD外接圆的半径．应用正弦定理，由正三角形的边长为得

因为　　　 AE⊥EB

过AB的中点F，在平面AEB中，作AB的垂线交AE于O，则O是四面体ABCD外接球的球心，球的半径为

所以，所求的球之表面积为

上述估计和精算的方法，计算量仍嫌偏大．若充分发挥空间想像力，可获快速判断．

解法3　 联想棱长为1的正方体则四面体的棱长都为它的外接球也是正方体的外接球，其半径为正方体对角线长的一半，即有故所求球面积为S=3π．

[答案]　 A

10．已知长方形的四个顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和D(0，1)．一质点从AB的中点沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点(入射角等于反射角)．设的坐标为则tanθ的取值范围是

[分析] 　本题以运动质点碰壁反射问题为背景，主要考查直线、轴对称和函数等基础知识及其应用，以及分析解决问题的能力．

依题意可知点的横坐标是tanθ的函数，试题要求由的取值范围确定tanθ的取值范围，也即由函数的值域求定义域．为此，宜从建立函数关系式入手，如解法2．不过，作为选择题，本题可以用特殊值排除法快速求解，如解法1．

解法1　 取特殊的θ角，当时，根据反射原理，得点依次是BC，CD，DA和AB的中点，即有不属于所求的tanθ的取值范围．从而，可排除选项A、B和D，应取C作答．

解法2　 依题设可作图如下．记各点的坐标如下：

根据反射原理得：

[答案] 　C

A．3　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 D．6

[分析]　 本题主要考查组合数的性质、数列极限的计算等基本知识，以及基本的计算技能．

本题要求考生计算两个和式之比的极限．由于和式的项数随n的增加而无限增加，因而不能简单应用极限四则运算法则求极限，必须将和式化简成有限的形式．

原式中，分子、分母的和式是组合数求和，应充分借助组合数性质，将其化简．例如，应用公式

可顺利化简原式．

此外，也可采用数列求和的方法求解．

[答案]　 B

9．已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为则此双曲线的方程是

[分析]　 本题主要考查双曲线的基本知识，以及推理和计算技能．

本题要求确定双曲线的方程，而双曲线的已知条件比较复杂，涉及到与已知直线相交的背景．在这种情况下，宜用待定系数法求解．

因为双曲线的中心在原点，点又是双曲线的一个焦点．故双曲线的方程可写为

a>0为待定系数，可用不同方法求得．

解法1　 将y=x－1代人方程①，整理得

由直线y=x－1与双曲线相交于M、N两点，故此二次方程有不等的两个实根分别为点M、N的横坐标．从而MN中点的横坐标为

解法2　 依题设，可记

其中t为某个常数，且t≠0．

由M、N在双曲线上，得

将两式相减，整理得

上述解法计算量偏大，为了快速解答，可采用定性与定量相结合的方法求解．

解法3　 由双曲线与直线y=x－1有两个交点M和N，且焦点在x轴上，可知双曲线渐近线的斜率绝对值应大于1，由此排除B、C；其次，由MN的中点的横坐标为可估计双曲线的张口应比较大，D的可能性比较大．为此，作定量检验，将直线方程代人A所示的双曲线得

[答案]　 D

8．已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|=

A．1　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　

[分析]　 本题主要考查二次方程根与系数的关系，等差数列等基本知识，以及数学思维和分析处理问题的能力．

注意到题设4次方程的两个2次因式中，只有常数项不同，可知等差数列的4个项中首尾两项应为其中一个因式的两根，而中间两项为另一因式的两根．所以，在此基础上，可用不同的引入方式，采取适当的计算程序，求得|m－n|的值．

解法1　 因为抛物线有公共的对称轴x=1，又它们与x轴的4个交点的横坐标(即题设方程的4个根)成等差数列，所以可设为

的一个根，则方程的另一个根为

解法3　 依题意可设原方程的4个根为

则对任意实数x，有

比较系数，得

(注：m、n的位置也可对调，不影响结果)．

解法4　 从解原方程入手．由

求得原方程的根为：

由题设，这4个根组成首项为的等差数列，所以，必有1－m>0，1－n>0，且

[答案]　 C

7．设处切线的倾斜角的取值范围为，则点P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为

[分析]　 本题主要考查导数的几何意义，多项式函数求导数的方法，点到直线的距离，二次函数的性质等基本知识，以及推理和计算技能．

解答本题，宜先求出的取值范围，进而根据曲线y=f(x)对称轴的方程，便可求得点P到对称轴距离的取值范围，如解法1．此外，也可用特殊值排除法求解．

解法1　 依题设知点P的横坐标必须且只须满足

因为抛物线y=f(x)的对称轴为直线：

所以点P到直线的距离为

解法2　 取特殊值a=1，b=－2，c=0．可知曲线y=f(x)的对称轴为直线l：x=1．曲线在点P处切线的斜率为

由及tanx的单调性，依题设知k的取值范围为[0，1]，所以

得点P到对称轴距离的取值范围为据此，可排除选项A，C，D，得答案B．

[答案]　 B

6．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为

[分析]　 本题主要考查棱柱、棱锥等多面体的基本知识和体积计算，以及基本的空间想象能力．

题设的八面体(记为ABCDEF)如图所示．图中将原正方体略去，以使图线清晰．该八面体的三条轴线AC、BD、EF两两互相垂直，且AC=BD=EF=a，

把这个八面体看作共底(BFDE)的两个四棱锥的组合体，应用棱锥体积计算公式，得所求的八面体的体积为

对于空间想像力比较好的考生，不作图便可由心算得出答案．心算的方法比较多，例如，与上法共通地把八面体看作共底的两个四棱锥，底面积是正方体的一个面的面积之半，锥高是正方体棱长之半，即可得体积为又如，由对称性，将正方体切成相等的八个小正方体，这时题没的八面体也被切成八个相等的三棱锥，每个三棱锥的体积等于小正方体的体积的所以八面体的体积是正方体体积的即

[答案]　 C

[分析]　 本题主要考查复数的四则运算，以及简单的数值计算技能．

解答本题必须正确用好复数的四则运算法则，既可用复数的代数形式进行演算，也可用三角形式进行演算．

[答案]B

[分析]　 本题主要考查三角函数的基础知识和基本三角函数公式的简单应用，以及基本的计算技能．

作为常规解法，可先由已知条件求sin x，推得tan x的值，再应用倍角正切公式求得答案，如解法1；作为灵活解法，可用估值快速求解，如解法2．

(注：也可用下式得解：

而不需求tanx．)

[答案]　 D

A．(－1，1)　　　　　　　　　　　　　 B．(－1，+∞)

C．(－∞，－2)∪(0，+∞)　　　　 D．(－∞，－1)∪(1，+∞)

[分析]　 本题主要考查分段函数的概念、指数函数与幂函数的性质、不等式组的求解等基础知识，以及简单的推理计算能力．

根据函数f(x)的分段表达式，画个草图可快速判断，如解法4；也可将不等式化为等价的不等式组求解，如解法1；也可用特殊值排除法求解，如解法2；还可以利用单调性，结合解方程求解，如解法3．

解不等式组①得解不等式组②得综合得的取值范围为(－∞,－1)∪(1，+∞)．

解法2　 由排除A和B；由f(0.04)=0.2<1，排除C，得答案D．

解得x=－1；由

解得x=1．

因为f(x)在(－∞，0]上是减函数，在(0，+∞)上是增函数，所以得的取值范围为(－∞，1)∪(1，+∞)．

[答案]　 D

4．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

则P的轨迹一定通过△ABC的

A．外心　　　　　 B．内心　　　　　　　　 C．重心　　　　　　　　 D．垂心

[分析] 　本题主要考查平面向量的线性运算等基本知识和计算技能．

解法1　 为书写方便与直观起见，宜作图表示(如下图)．图中，有

则动点P满足

因此，点P的轨迹一定通过△ABC的内心．得答案为B．

解法2　 当λ>0时，

因为A，B，C不共线，

所以AP平分∠BAC，

得点P的轨迹一定通过△ABC的内心．

解法3　 考虑特殊情形，取△ABC为等腰直角三角形，即：如图．

这时，△ABC的外心为AC的中点D，垂心为点B．而由题设知点P的轨迹是由点A出发，方向为的射线，不经过点D，也不经过点B，故排除A、D两个选项．其次，由于所以射线不平分BC，即不通过△ABC的重心，排除选项C．从而得选项B为答案．

[答案]　 B

[分析]　 本题主要考查对数函数、指数函数的性质和求反函数的方法，以及基本的计算技能．

根据反函数的概念，求给定函数的反函数，可用解方程的方法，如解法1；作为选择题，还可用特殊值排除法求解，如解法2．

解法1　 解方程不等式组

得y>O，因此，所求的反函数为

解法2　 因为点(2，ln3)在原函数的图像上，所以点(1n3，2)应在反函数的图像上．因此，由In3>0，可排除选项C、D；由

可排除A，应取B作答．

[答案]　 B

22.(本小题满分14分)

　 设f(x)的定义域为x∈R且x≠，k∈Z，且，如果f(x)为奇函数，当0＜x＜时，f(x)=3^x.

　 (1)求

　 (2)当＜x＜2k+1(k∈Z)时，求f(x)；

　 (3)是否存在这样的正整数k，使得当＜x＜2k+1(k∈Z)时，log₃f(x)＞x²-kx-2k有解？

21.(本小题满分12分)

　 设曲线C：y=x²(x＞0)上的点P₀(x₀，y₀)，过P₀作曲线C的切线与x轴交于Q₁，过Q₁作平行于y轴的直线与曲线C交于P₁(x₁，y₁)，然后再过P₁作曲线C的切线交x轴于Q₂，过Q₂作平行于y轴的直线与曲线C交于P₂(x₂，y₂)，依次类推，作出以下各点：P₀，Q₁，P₁，Q₂，P₂，Q₃，…，P_n，Q_n+1，…，已知x₀=2，设P_n(x_n，y_n)(n∈N^*).

　 (1)求出过点P₀的切线方程；

　 (2)设x_n=f(n)，求f(n)的表达式；

　　 (3)设S_n=x₀+x₁+…+x_n，求S_n.