17. 抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件(如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等)的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：

(1)借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ：

①正比例函数型： ---------------；

②幂函数型： --------------，；

③指数函数型： ------------，；

④对数函数型： -----，；

⑤三角函数型： ----- 。如已知是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则____(答：0)

(2)利用函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性、对称性等)进行演绎探究：如(1)设函数表示除以3的余数，则对任意的，都有　A、 B、 C、 D、(答：A)；(2)设是定义在实数集R上的函数，且满足，如果，，求(答：1)；(3)如设是定义在上的奇函数，且，证明：直线是函数图象的一条对称轴；(4)已知定义域为的函数满足，且当时，单调递增。如果，且，则的值的符号是____(答：负数)

(3)利用一些方法(如赋值法(令＝0或1，求出或、令或等)、递推法、反证法等)进行逻辑探究。如(1)若，满足

，则的奇偶性是______(答：奇函数)；(2)若，满足

，则的奇偶性是______(答：偶函数)；(3)已知是定义在上的奇函数，当时，的图像如右图所示，那么不等式的解集是_____________(答：)；(4)设的定义域为，对任意，都有，且时，，又，①求证为减函数；②解不等式.(答：)．

16. 函数的应用。(1)求解数学应用题的一般步骤：①审题――认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；②建模――通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域；③解模――求解所得的数学问题；④回归――将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。(2)常见的函数模型有：①建立一次函数或二次函数模型；②建立分段函数模型；③建立指数函数模型；④建立型。

15. 指数、对数值的大小比较：(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1)；(4)化同指数(或同真数)后利用图象比较。

14.指数式、对数式：

，，，，，，，，，，， 。如(1)的值为________(答：8)；(2)的值为________(答：)

13. 函数的周期性。

(1)类比“三角函数图像”得：

①若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为；

②若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为；

③如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为；

如已知定义在上的函数是以2为周期的奇函数，则方程在上至少有__________个实数根(答：5)

(2)由周期函数的定义“函数满足，则是周期为的周期函数”得：

①函数满足，则是周期为2的周期函数；

②若恒成立，则；

③若恒成立，则.

如(1) 设是上的奇函数，，当时，，则等于_____(答：)；(2)定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，则的大小关系为_________(答：)；(3)已知是偶函数，且=993，=是奇函数，求的值(答：993)；(4)设是定义域为R的函数，且，又，则=　　　　　　 (答：)

12. 函数的对称性。

①满足条件的函数的图象关于直线对称。如已知二次函数满足条件且方程有等根，则＝_____(答：)；

②点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为；

③点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为；

④点关于原点的对称点为；函数关于原点的对称曲线方程为；

⑤点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为。特别地，点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为

；点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为。如己知函数,若的图像是,它关于直线对称图像是关于原点对称的图像为对应的函数解析式是___________(答：)；

⑥曲线关于点的对称曲线的方程为。如若函数与的图象关于点(-2，3)对称，则＝______(答：)

⑦形如的图像是双曲线，其两渐近线分别直线

(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)，对称中心是点。如已知函数图象与关于直线对称，且图象关于点(2，－3)对称，则a的值为______(答：2)

⑧的图象先保留原来在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到；的图象先保留在轴右方的图象，擦去轴左方的图象，然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到。如(1)作出函数及的图象；(2)若函数是定义在R上的奇函数，则函数的图象关于____对称 (答：轴)　

提醒：(1)从结论②③④⑤⑥可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；(2)证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上；(3)证明图像与的对称性，需证两方面：①证明上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在上；②证明上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在上。如(1)已知函数。求证：函数的图像关于点成中心对称图形；(2)设曲线C的方程是,将C沿轴, 轴正方向分别平行移动单位长度后得曲线。①写出曲线的方程(答：)；②证明曲线C与关于点对称。

11. 常见的图象变换

①函数的图象是把函数的图象沿轴向左平移个单位得到的。如设的图像与的图像关于直线对称，的图像由的图像向右平移1个单位得到，则为__________(答： )

②函数(的图象是把函数的图象沿轴向右平移个单位得到的。如(1)若，则函数的最小值为____(答：2)；(2)要得到的图像，只需作关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到(答：；右)；(3)函数的图象与轴的交点个数有____个(答：2)

③函数+的图象是把函数助图象沿轴向上平移个单位得到的；

④函数+的图象是把函数助图象沿轴向下平移个单位得到的；如将函数的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线对称,那么 　　　　　　　　　　(答：C)

⑤函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得到的。如(1)将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将此图像沿轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____(答：)；(2)如若函数是偶函数，则函数的对称轴方程是_______(答：)．

⑥函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的倍得到的.

10.函数的单调性。

(1)确定函数的单调性或单调区间的常用方法：

①在解答题中常用：定义法(取值――作差――变形――定号)、导数法(在区间内，若总有，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则，请注意两者的区别所在。如已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是____(答：))；

②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意

型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为，减区间为.如(1)若函数 在区间(－∞，4] 上是减函数，那么实数的取值范围是______(答：))；(2)已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围_____(答：)；(3)若函数的值域为R，则实数的取值范围是______(答：且))；

③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如函数的单调递增区间是________(答：(1,2))。

(2)特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数在区间上为减函数，求的取值范围(答：)；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．

(3)你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?(①比较大小；②解不等式；③求参数范围).如已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围。(答：)

9.函数的奇偶性。

(1)具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数，

为奇函数，其中，则的值是　 (答：0)；

(2)确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性)：

①定义法：如判断函数的奇偶性____(答：奇函数)。

②利用函数奇偶性定义的等价形式：或()。如判断的奇偶性___.(答：偶函数)

③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称。

(3)函数奇偶性的性质：

①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.

②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.

③若为偶函数，则.如若定义在R上的偶函数在上是减函数，且=2，则不等式的解集为______.(答：)

④若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件。如若为奇函数，则实数＝____(答：1).

⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”。如设是定义域为R的任一函数， ，。①判断与的奇偶性； ②若将函数，表示成一个奇函数和一个偶函数之和，则＝____(答：①为偶函数，为奇函数；②＝)

⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

⑦既奇又偶函数有无穷多个(，定义域是关于原点对称的任意一个数集).

8. 反函数：

(1)存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个值，都有唯一的值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有有反函数；周期函数一定不存在反函数。如函数在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是A、　B、　C、　D、　(答：D)

(2)求反函数的步骤：①反求；②互换 、；③注明反函数的定义域(原来函数的值域)。注意函数的反函数不是，而是。如设.求的反函数(答：)．

(3)反函数的性质：

①反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。如单调递增函数满足条件= x ，其中≠ 0 ，若的反函数的定义域为 ，则的定义域是____________(答：[4,7]).

②函数的图象与其反函数的图象关于直线对称，注意函数的图象与的图象相同。如(1)已知函数的图象过点(1,1),那么的反函数的图象一定经过点_____(答：(1,3))；(2)已知函数，若函数与的图象关于直线对称，求的值(答：)；

③。如(1)已知函数，则方程的解______(答：1)；(2)设函数f(x)的图象关于点(1,2)对称，且存在反函数，f (4)＝0，则＝　　 (答：－2)

④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如已知是上的增函数，点在它的图象上，是它的反函数，那么不等式的解集为________(答：(2,8))；

⑤设的定义域为A，值域为B，则有，

，但。