14.(重庆八中2009-2010学年度(上)第二次月考)在数列中，已知，，．(1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；

(2)求证：，．

(1)注意到，所以原式整理得：

由，得对，．从而由，两边取倒数得：，即　　 ，

数列是首项为，公比为的等比数列

. 故数列的通项公式是. ……4分

(2)证法1：，　 当时，

　……8分

+

.…………………………………………………………12分

证法2：，　 当时，

　 ………………8分

　.………………………………………………………………………………12分

13.(余姚中学高三数学期中试卷)

已知函数，满足：

①对任意都有；②对任意都有.

(1)试证明：为上的单调增函数；

(2)求；

(3)令，试证明：

解：(1)由①知，对任意，都有，

由于，从而，所以函数为上的单调增函数.　　　　　　 3分

(2)令，则，显然，否则，与矛盾.从而，而由,即得.

又由(I)知，即.

于是得，又，从而，即.　　　　　　　　　　　　　　 5分

进而由知，.

于是,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7分

,

,,

,,

由于,

而且由(I)知，函数为单调增函数，因此.

从而.　　　　　　　　　　　　　　　 9分

(3),

，.

即数列是以6为首项, 以3为公比的等比数列 .

　∴ .　 　　　　　　　　　　　　　　　　11分

于是,

显然,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

另一方面,

从而.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

综上所述, .　 　　　　　　　　　　　　----　 15分

12.(余杭高级中学2010届高三第四次月考)

已知，点.

(Ⅰ)若,求函数的单调递增区间；

(Ⅱ)若函数的导函数满足：当时，有恒成立，求函数 的解析表达式；

(Ⅲ)若，函数在和处取得极值，且，证明： 与不可能垂直。

解：(Ⅰ) ,

令得，解得

故的增区间和　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

(Ⅱ)(x)=

当x∈[-1，1]时，恒有|(x)|≤.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　5分

故有≤(1)≤，≤(-1)≤，

11.(台州中学2009-2010学年第一学期期中试题)已知，函数.

(1)设曲线在点处的切线为，若与圆相切，

求的值；

(2)求函数的单调区间；　 (3)求函数在[0，1]上的最小值。

解：(1)依题意有，(1分)

过点的直线斜率为，所以过点的直线方程为(2分)

又已知圆的圆心为，半径为1

∴ ，解得(3分)

(2)

当时，(5分)

令，解得，令，解得

所以的增区间为，减区间是(7分)

(3)当，即时，在[0，1]上是减函数

所以的最小值为(9分)

当即时

在上是增函数，在是减函数

所以需要比较和两个值的大小(11分)

因为，所以

∴ 当时最小值为，当时，最小值为(12分)

当，即时，在[0，1]上是增函数

所以最小值为_.

综上，当时，为最小值为

当时，的最小值为(14分)

22．(本小题满分14分)

解：(Ⅰ)

根据已知，

--------------------4分

是公比的等比数列。------------------------------6分

　　 ①

　　 ②

①-②得

10.(昆一中2010届高三年级第四次月考(12月)

已知数列中，对任何正整数，等式=0都成立，且，当时，；设.

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ)设为数列的前n项和，求的值.

9.(苏皖学校高三第三次月考数学试卷)

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(a,b,c均为实数),满足a-b+c=0，对于任意实数x 都有f (x)-x≥0，并且当x∈(0，2)时,有f (x)≤.

　 (1)求f (1)的值；

(2)证明：ac≥；

(3)当x∈[-2，2]且a+c取得最小值时，函数F(x)=f (x)-mx (m为实数)是单调的，求证：m≤或m≥.

解：(1)∵对于任意x∈R，都有f (x)-x≥0,且当x∈(0,2)时,

有f (x) ≤.令x=1

∴1≤f (1) ≤.

即f (1)=1.···················································································· 5分

　 (2) 由a-b+c=0及f (1)=1.

有,可得b=a+c=.···················································· 7分

又对任意x,f(x)-x≥0,即ax²-x+c≥0.

∴a＞0且△≤0.

即-4ac≤0,解得ac≥.·························································· 9分

(3) 由(2)可知a＞0,c＞0.

a+c≥2≥2·=.························································ 10分

当且仅当时等号成立.此时

a=c=.·······················································································

∴f (x)= x²+x+,

F (x)=f (x)-mx=[x²+(2-4m)x+1].····················································· 12分

当x∈[-2,2]时，f (x)是单调的，所以F (x)的顶点一定在[-2，2]的外边.

∴≥2.············································································ 13分

解得m≤-或m≥. …………………………………………………………..14分

8.(2009-2010学年度淄博市重点高中高三阶段考理科数学)已知数列的前n项和(n为正整数)。

(Ⅰ)令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；

(Ⅱ)令，比较与的大小，并证明。(本小题满分14分)

解：(I)在中，令n=1，可得，即

当时，，…… 2分

.

　 .　　　　　　　　　 .　　

　又数列是首项和公差均为1的等差数列. ……………………4分

　于是.……………………5分

(II)由(I)得，所以

由①-②得　　　　　　　　　

……………………8分

于是确定的大小关系等价于比较的大小

由　　　　　　　　　

可猜想当证明如下：……………………10分

证法1：(1)当n=3时，由上验算显示成立。

(2)假设时

所以当时猜想也成立

综合(1)(2)可知 ，对一切的正整数，都有

证法2：当时

综上所述，当，当时

7.(山东省威海市2010届高三上学期教学质量检测)

已知函数．(Ⅰ)求函数的单调减区间和极值;

(Ⅱ)当时，若恒成立，求实数的取值范围．

解：(Ⅰ)函数的定义域为， 2分

，令，解得，列表

	－	－	0	+
	单调递减	单调递减	极小值	单调递增

由表得函数的单调减区间为，;极小值为＝，无极大值. 6分

(Ⅱ)因为，所以

在两边取自然对数，，即， 12分

由(1)知的最小值为，所以只需，即. 14分

6.(山东省临沂高三数学(理工)教学质量监测) 已知函数(为常数)是R上的奇函数，函数g(x)=是区间上的减函数.

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)若上恒成立，求t的取值范围；

(Ⅲ)讨论关于x的方程的根的个数．

解：(Ⅰ) 是奇函数， =　 ……1分

，

．　　　 ……………3分

(Ⅱ)由(1)知：，，上单调递减，上恒成立，……………5分

，只需，

恒成立，

令＝,则，，而恒成立，　 　……………8分

(Ⅲ) ，　　　　　　 …………………………9分

令

当上为增函数；

当为减函数；

当而，……………11分

方程无解；

方程有一个根；

方程有两个根。　　 …………………………14分