2.圆

圆的定义

点集：{M｜｜OM｜=r}，其中定点O为圆心，定长r为半径.

圆的方程

(1)标准方程

圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是

(x-a)²+(y-b)²=r²

圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是

x²+y²=r²

(2)一般方程

当D²+E²-4F＞0时，一元二次方程

x²+y²+Dx+Ey+F=0

叫做圆的一般方程，圆心为(-,-，半径是.配方，将方程x²+y²+Dx+Ey+F=0化为

(x+)²+(y+)²=

当D²+E²-4F=0时，方程表示一个点

(-,-);

当D²+E²-4F＜0时，方程不表示任何图形.

点与圆的位置关系　 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x₀,y₀)，则

｜MC｜＜r点M在圆C内，

｜MC｜=r点M在圆C上，

｜MC｜＞r点M在圆C内，

其中｜MC｜=.

(3)直线和圆的位置关系

①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系

直线与圆相交有两个公共点

直线与圆相切有一个公共点

直线与圆相离没有公共点

②直线和圆的位置关系的判定

(i)判别式法

(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=与半径r的大小关系来判定.

1.方程的曲线

在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫 做方程的曲线.

点与曲线的关系　 若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P₀(x₀,y₀)在曲线C上f(x₀,y ₀)=0；

点P₀(x₀,y₀)不在曲线C上f(x₀,y₀)≠0

两条曲线的交点　 若曲线C₁，C₂的方程分别为f₁(x,y)=0,f₂(x,y)=0,则

　　　　　　　　　　　　　　 f₁(x₀,y₀)=0

点P₀(x₀,y₀)是C₁，C₂的交点

　　　　　　　　　　　　　　 f₂(x₀,y₀) =0

方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有 交点.

4.了解用坐标法研究几何问题的思想，初步掌握利用方程研究曲线性质的方法.

3.理解坐标变换的意义，掌握利用坐标轴平移化简圆锥曲线方程的方法.

2.掌握圆锥曲线的标准方程及其几何性质，并根据并给的条件画圆锥曲线，了解圆锥曲线的 一些实际应用.

1.掌握直角坐标系中的曲线与方程的关系和轨迹的概念，能够根据所给条件，选择适当的直 角坐标系求曲线的方程，并画出方程所表示的曲线.

(三)解答题

16.已知平面α和不在这个平面内的直线a都垂直于平面β，求证a∥α.

17.如图，正方形ABCD，E、F分别是AB、CD的中点，G为BF的中点，现将正方形沿EF折成120°的二面角.求①异面直线EF和AG所成的角；②AG和平面EBCF所形成的角.

第17题图　　　　　　　　　 　　 　第18题图

18.如图，已知三棱锥P-ABC中，PA=PB,CB⊥平面PAB，PM=MC,AN=3NB.①求证MN⊥AB;②∠APB=90°,BC=2，AB=4时，求MN的长.

19.如图，已知二面角α-PQ-β为60°，点A和B分别在平面α和平面β内，点C在棱PQ上，且∠ACP=∠BCP=30°AC=BC①求证AB⊥PQ；②求直线PQ

在面ABC所成角的大小.

20.如图，已知矩形ABCD中，AB=1,BC=a(a＞0，PA⊥平面AC，且PA=1.①问BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，并说明理由；②若BC边上有且只有一个点Q使得PQ⊥QD，求这时二面角Q-PD-A的大小.

(二)填空题

11.两条异面直线所成的角为θ，则cosθ的取值范围是_________.

12.棱长为1的正方体，PA、PB、PC是共一个顶点P的三条棱，那么点P到平面ABC的距离是_________.

13.从三棱锥六条棱的中点中，任选四个作为四边形的顶点.其中为平行四边形的个数有__________个.

14.二面角的一个面内有一条直线与另一个面成30°，这直线与棱成45°角，则此二面角度数_________.

15.正四棱锥S-ABCD的高为2，底面边长为，P、Q两点分别在线段BD和SC上，则P、Q两点的最短距离为_______.

(一)选择题

1.下列命题中，假命题是(　　 )

A.若a,b是异面直线，则一定存在平面α过a且与b平行

B.若a,b是异面直线，则一定存在平面α与a且与b垂直

C.若a,b是异面直线，则一定存在平面α与a，b所成的角相等

D.若a,b是异面直线，则一定存在平面α与a，b的距离相等

2.下列命题中，真命题是(　　 )

A.若直线m、n都平行于平面α则m∥n

B.设α-l-β是直二面角，若直线m⊥l,则m⊥β

C.若m、n在平面α内的射影依次是一个点和一条直线，且m⊥n,则n在α内或n与α平行

D.若直线m、n是异面直线，若m与平面α平行，则n与α平行，则n与α相交

3.如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l=β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么必有(　　 )

A.α⊥γ且l⊥m　　　　 B.α⊥γ且m∥β　　　　　 C.m∥β且l⊥m　　　　 D.α∥β且α⊥γ

4.设α、β是两个不重合的平面，m和l是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分条件是(　　 )

A.lα，mα且l∥β，m∥β　　　　　　　　　 B.lα，mβ且l∥m

C.l⊥α，m⊥β，且l∥m　　　　　　　　　　　　　 D.l∥α，m∥β且l∥m

5.已知直二面角α-l-β，直线ma,直线nβ，且m、n均不与直线l垂直，则(　　 )

A.m和n不可能垂直，但可能平行　　　　　　　　　 B.m与n可能垂直，但不能平行

C.m和n可能垂直，也可能平行　　　　　　　　　　 D.m与n不能垂直，也不能平行

6.二面角α-EF-β是直二面角，C∈EF，ACα，BCβ，如果∠ACF=30°，∠ACB=60°，∠BCF=θ，那么cosθ的值等于，则(　　 )

A.　　　 　　　　　 B.　　　 　　　　　　 C. 　　　　　　　　 D.

7.如图，有共同底边的等边△ABC和等边三角形BCD所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为(　 )

A.　　　　 　　　　　 　B. 　　　　　　　 C.　　　　 　　　　　 D.

8.正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中截面AB₁C和截面A₁B₁C所成的二面角的大小为(　　 )

A.45°　　　　 　　　　　 B.60°　　　 　　　 C.arccos　 　　　　　 D.arccos

9.如图，BCDE是一个正方形，AB⊥平面CE，侧图中相互垂直的平面有(　　 )

A.3组　　　　 　　　　　 B.6组　　　　 　　　 C.7组　　 　　 　　　　 D.8组

10.菱形ABCD的边长为a,∠A=60°，E、F、G、H分别在AB，BC，CD，DA上，且BE=BF=DG=DH=，沿EH与FG把

菱形的两个锐角对折起来，使A、C两点重合，这时A点到平面E-FGH的距离为(　　 )

A.　　　 　　　　 B.　　　 　　　　　 C. 　　　　　　　　 D.(-1)a

(二)空间直线和平面

例15　 已知直线l垂直于平面α，直线m平面β，有下面四个命题：

(1)α∥βl⊥m

(2)α⊥βl∥m

(3)l∥mα⊥β

(4)l⊥mα∥β

其中正确的两个命题是(　　 )

A.(1)与(2)　　　　　　　 B.(3)与(4)　　　　　　　 C.(2)与(4)　　　　　　　 D.(1)与(3)

解：命题(1)正确，证明如下：

∵l⊥α，若α∥β，则l⊥β，

又mβ，

∴l⊥m

命题(2)不正确.

已知l⊥α，β⊥α，此时有可能lβ，又因mβ，从而l与m共面β，l和m可能平行也可能相交.

命题(3)正确，证明如下：

∵l⊥α，l∥m，

∴m⊥α，

又mβ，

∴α⊥β.

命题(4)不正确，

设α∩β＝m，∵l⊥α，mα，∴l⊥m，故由l⊥α，m?β，l⊥mα∥β.

(1)、(3)正确；(2)、(4)不正确.

应选D.

例16　　　　 如图(1)，ABCD是正方形，E是AB中点，如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，

记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为_________度.

解：在图(2)上作PH⊥CD于H，设正方形ABCD的边长1.

易知PD＝l，PC＝l，∴H为DC中点.

又ED＝EC.

∴EH⊥DC于H.

设∠PHE＝θ，则θ为面PCD与面ECD所成二面角的大小.

在△PDC中，由PD＝PC＝DC＝l，得PH＝，

在△EDC中，由EH＝

＝＝l，

又P是A、B重合的点，故PE＝AE＝.

用余弦定理于△PHE，有

cosθ＝cos∠PHE＝==,

由于θ∈(0，180°)，得θ＝30°.

应填30°.

例17 已知：如图，平面α∩平面β＝直线a，α、β同时垂直于平面r，又同时平行于直线b.

求证：(1)a⊥γ，(2)b⊥γ.

证明：(1)设α∩γ＝m，β∩γ＝n.

在直线a上任选不在平面γ上的点A，作AO⊥m于O，AO′⊥n于O′.

∵AOα，α⊥γ且α∩γ＝m，AO⊥m，

∴AO⊥γ(两面垂直，则在其中一个平面上且垂直于交线的直线必垂直于另一个面).同理AO′⊥γ.

但平面γ外的点A在平面γ的射影唯一.

∴O和O′重合于m，n的交点.

即直线a⊥平面γ.

(2)∵b∥平面α，

∴存在b′α，b′≠a；满足b∥b′.

又b∥β，从而b′∥β.

因为平面α过b′且交平面β于a，

∴b′∥a，从而b∥a.

由a⊥γ，得b⊥γ.

例18　 如果直线l，m与平面α、β、γ满足：l＝β∩r，l∥α

，mα，和m⊥γ，那么必有(　　 )

A.α⊥γ且l⊥m

B.α⊥γ且m∥β

C.m∥β且l⊥m

D.α∥β且α⊥γ

解：∵mα，m⊥γ，

∴γ⊥α，

∵lγ，m⊥γ，

∴m⊥l.

即在题设的条件下必有γ⊥α且l⊥m.

应选A.

例19　 　如图1-37，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E∈BB₁，截面A₁EC⊥侧面AC₁.

(1)求证：BE＝EB₁；

(2)若AA₁＝A₁B₁，求平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成二面角(锐角)的度数.

注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为(1)的完成证明，并解答(2).

证明：在截面A₁EC内，过E作EG⊥A₁C，G是垂足.

(Ⅰ)∵_____________________

∴EG⊥侧面AC₁，取AC的中点F，连结BF、FG，由AB＝BC得BF⊥FC.

(Ⅱ)∵_____________________

∴BF⊥侧面AC₁，得BF∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC₁于FC.

(Ⅲ)∵_____________________

∴BF∥EG，四边形BEGF是平行四边形，BE＝FG.

(Ⅳ)∵_____________________

∴FG∥AA₁，ΔAA₁C∽ΔFGC，

(Ⅴ)∵_____________________

∴FG=AA₁＝BB₁，即BE=BB₁，故BE＝EB₁.

解：(1) (Ⅰ)∵面A₁EC⊥侧面AC₁，

　　　　 (Ⅱ)∵而面ABC⊥侧面AC₁，

(Ⅲ)∵BE∥侧面AC₁，

(Ⅳ)∵BE∥AA₁，

　　　　 (Ⅴ)∵AF＝FC.

(2)分别延长CE、C₁B₁交于点D，连结A₁D.

∵EB₁∥CC₁，EB₁＝BB₁＝CC₁，

∴DB₁＝DC₁＝B₁C₁＝A₁B₁，

∵∠B₁A₁C₁＝∠B₁C₁A₁＝60°

∠DA₁B₁＝∠A₁DB₁＝(180°-∠DB₁A₁)＝30°

即DA₁⊥A₁C₁

∵CC₁⊥面A₁C₁B₁，即A₁C₁在平面A₁C₁D上的射影，根据三垂线定理得DA₁⊥A₁C，

∴∠CA₁C是所求二面角的平面角.

∵CC₁＝AA₁＝A₁B₁＝A₁C₁，∠A₁C₁C＝90°，

∴∠CA?1C?1＝45°，即所求二面角为45°.

例20　 在空间中，下列命题成立的是(　　 )

A.过平面α外的两点，必有且只有一个平面与平面α垂直

B.若直线l上有两点到平面α的距离相等，则直线l必平行于平面α

C.若直线l与平面α内的无数多条直线垂直，则直线l必垂直于平面α

D.互相平行的两条直线在一个平面内的射影仍然是互

相平行的两条直线

E.若点P到三角形的三条边的距离相等，则点P在该

三角形所在平面内的射影必然是该三角形的内心

解：A不正确.若平面α外的两点A、B使直线AB⊥α，则过A、B两点且与α垂直的平面有无数多个.

B不正确.设l和α交于点O，在l上取OA＝OB，则A、B到平面α等距但直线AB不平行于平面α.

C不正确.设l斜交α于O，在α内过O点作m⊥l，则α内与m平行的无数多条直线都平行于l，但l与α不垂直.

D不正确.若互相平行的两直线a，b所确定的平面β⊥α，则a，b在α内的射影是一条直线.

E正确.由三垂线定理易证明它的正确性.

例21　 已知二面角α-AB-β的平面角是锐角θ，α内一点C到β的距离为3，点C到棱的距离为4，那么tgθ的值等于(　　 )

A.　　　 　　　　　　　 B. 　 　　　　　 C.　　 　　　　　　 D..

解：如图，CO⊥β于O，CD⊥AB于D，则CO＝3，CD＝4，∠CDO＝θ，∠COD＝90°.

∴tgθ＝＝

＝＝.

应选C.

例22　 下列命题中，错误的是(　　 )

A.若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这平面上所有的直线

B.若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直

C.若一条直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线平行于这个平面

D.若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直

解：B为两面垂直的一个判定定理.

A为线面垂直的性质定理.

C错误：设l⊥平面α，m∥l，若m?α，则m∥α.

应选C.

例23　 下列四个命题中的真命题是(　　 )

A.若直线l平面α内两条平行直线垂直，则l⊥α

B.若平面α内两条直线与平面β内两条直线分别平行，则α∥β

C.若平面α与直二角β-MN-r，棱MN交于点A，与二面角的面β，而r分别交于AB、AC，则∠BAC≤90°

D.以上三个命题都是假命题.

解：命题A不真

命题B不真；若这四条直线都平行，则有可能α∥β

命题C不真：

如图

BC² ＝BB′2+BC′2

＝BB′2+CC′²+B′C²

＝BB′²+CC′²+(B′A+C′A)²

＞BB′²+CC′²+B′A′²+C′A²

＝(BB′²+B′A²)+(CC′²+C′A²)

＝BA²+CA²

∴∠BAC＞90°

应选D.