6．空间向量的数量积
(1) 空间向量的夹角： ．
(2) 空间向量的长度或模： ．
(3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a、b，则a·b＝ ．
空间向量的数量积的常用结论：
(a) cos〈a、b〉＝ ；
(b) ïaï2＝ ；
(c) a
b
．
(4) 空间向量的数量积的运算律：
(a) 交换律a·b＝ ；
(b) 分配律a·(b+c)＝ ．
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例1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若
，求x－y的值.
解：易求得
变式训练1. 在平行六面体
中，M为AC与BD的交点，若
a，
b，
c，则下列向量中与
相等的向量是 ( )
A．-
a+b+c B．a+b+c
C．a-b+c D．-a-b+c
解：A
例2. 底面为正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点，
求证：AB1∥平面C1BD.
证明：记
则
∴
,∴
共面.
∵B1
平面C1BD, AB1//平面C1BD.
变式训练2：正方体ABCD－EFGH中，M、N分别是对角线AC和BE上的点，且AM＝EN．
(1) 求证：MN∥平面FC；
(2) 求证：MN⊥AB；
(3) 当MA为何值时，MN取最小值，最小值是多少？
解：(1) 设
(2) 
(3) 设正方体的边长为a,
也即
，
例3. 已知四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD， G、H分别是△ABC和△ACD的重心．
求证：(1) AD⊥BC； (2) GH∥BD．
证明：(1) AD⊥BC
．因为AB
CD
，
，而
．
所以AD⊥BC．
(2) 设E、F各为BC和CD的中点．欲证GH∥BD，只需证GH∥EF，
＝(
)＝
．
变式训练3：已知平行六面体
，E、F、G、H分别为棱
的中点．求证：E、F、G、H四点共面．
解：
＝
＝
＝
＝
，
所以
共面，即点E、F、G、H共面．
例4. 如图，平行六面体AC1中，AE＝3EA1，AF＝FD，AG＝
，过E、F、G的平面与对角线AC1交于点P，求AP:PC1的值．
解：设
∴
又∵E、F、G、P四点共面，∴
∴
∴AP︰PC1＝3︰16
变式训练4：已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，求证
．
证明：法一：
故
法二：
·
＝(
+
)·(+
)
＝
·
＝
＝0
|
，使
．
，使
．
)，使P
．
0)，a∥b等价于存在实数
，使
．
，使
．3．
掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式．
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理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直.
第1课时 空间向量及其运算
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空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．
本节知识点是：