3．涉及直线与圆的位置关系的问题，宜用圆心到直线的距离来研究。=(为圆的半径)直线与圆相切；过圆x²+y²=r²上一点M(x₀,y₀)的切线方程为x₀x+y₀y=r²；过圆x²+y²=r²外一点M(x₀,y₀)作圆的两条切线，则两切点A、B连线的直线方程为x₀x+y₀y=r²。过⊙A外一点P作圆的切线PQ(Q为切点)，则|PQ|=。<直线与圆相交，弦长|AB|=2;过直线A+B+C=0与圆：=0的交点的圆系方程：+(A+B+C)=0 。>直线与圆相离,圆周上的点到直线距离的最小值为-，最大值为+。

[举例1] 从直线x-y+3=0上的点向圆引切线，则切线长的最小值是

A.　　　　　 B.　　　　 C.　　　　　　 D. -1

解析：圆的圆心A(-2，-2)，直线x-y+3=0上任一点P，过引圆的切线PQ(Q为切点)，则|PQ|=，当且仅当|PA|最小时|PQ|最小，易见|PA|的最小值即A到直线x-y+3=0的距离，为，此时|PQ|=，选B。

[举例2] 能够使得圆上恰有两个点到直线距离等于1的的一个值为：A．2　　　 B．　　　　 C．3　　　　　 D．

解析：本题如果设圆上一点的坐标，用点到直线的距离公式得到一个方程，进而研究方程解的个数，将是非常麻烦的。注意到圆心M(1，-2)，半径=2，结合图形容易知道，当且仅当M到直线：的距离∈(1，3)时，⊙M上恰有两个点到直线的距离等于1，由=∈(1，3)得：，选C。

[巩固1] 若直线(1+a)x+y+1=0与圆x²+y²－2x=0相切，则a的值为　　 (　 )

(A)1，－1　 　(B)2，－2　　(C)1　　 　(D)－1

[巩固2]直线l₁：y=kx+1与圆C：x²+y²+2kx+2my=0的两个交点A、B关于直线l₂：x+y=0对称，则=　　　 。

[迁移]实数x,y满足的取值范围为　　　　　　　　　　 (　　 )

　　 A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　 D．

2．圆的标准方程刻画了圆的位置特点(圆心与半径)，圆的一般方程反映了圆的代数特点(二元二次方程Ax²+By²+Cxy+Dx+Ey+F=0A=B≠0，C=0,且D²+E²-4AF>0)。判断点P(x₀,y₀)与⊙M：(x-a)²+(y-b)²= r²的位置关系，用|PM|与r的大小，即：|PM|>r(x₀-a)²+(y₀-b)²> r²P在⊙M外；|PM|<r(x₀-a)²+(y₀-b)²< r²P在⊙M内；|PM|=r(x₀-a)²+(y₀-b)²= r²P在⊙M上。过两个定点A、B的圆,圆心在线段AB的中垂线上。

[举例1]一圆经过A(4，2)，B(-1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2，则圆的方程为　　　　　　 　　　　　。

解析：研究圆在坐标轴上的截距，宜用一般方程(因为与圆心、半径没有直接联系)，设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0,∵圆过点A、B，∴4D+2E+F+20=0　 ①，-D+3E+F+10=0　　 ②，

圆在x轴上的截距即圆与x轴交点的横坐标，当y=0时，x²+Dx+F=0，x₁+x₂=-D

圆在y轴上的截距即圆与y轴交点的纵坐标，当x=0时，y²+Ey+F=0，y₁+y₂=-E

由题意知：-D-E=2　 ③，解①②③得D=-2，E=0，F=-12。

[举例2]若存在实数k使得直线：kx-y-k+2=0与圆C：x²+2ax+y²-a+2=0无公共点，则实数a的取值范围是：　　　　　　 。

解析：本题看似直线远的位置关系问题，其实不然。注意到直线对任意的实数k恒过定点

M(1，2)，要存在实数k使得直线与⊙C相离，当且仅当M点在圆外；方程x²+2ax+y²-a+2=0

变形为：(x+a)²+y²= a²+a-2, M点在⊙C外(1+a)²+4>a²+a-2>0，解得：-7<a<-2或a>1.

注：本题中a²+a-2>0是极易疏漏的一个潜在要求。

[巩固1]过点A(3，-2)，B(2，1)且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的方程是　　　　 。

[巩固2]已知定点M(x₀,y₀)在第一象限，过M点的两圆与坐标轴相切，它们的半径分别为r₁，

r₂,则r₁r₂=　　　　　　 。

[迁移] 关于曲线给出下列说法：①关于直线对称；②关于直线对称；③关于点对称；④关于直线对称；⑤是封闭图形，面积小于；⑥是封闭图形，面积大于；则其中正确说法的序号是　　　　　　

1．曲线C的方程为:f(x,y)=0曲线C上任意一点P(x₀,y₀)的坐标满足方程f(x,y)=0，即f(x₀,y₀)=0；且以f(x,y)=0的任意一组解(x₀,y₀)为坐标的点P(x₀,y₀)在曲线C上。

依据该定义：已知点在曲线上即知点的坐标满足曲线方程；求证点在曲线上也只需证点的坐标满足曲线方程。求动点P(x,y)的轨迹方程即求点P的坐标(x,y)满足的方程(等式)。求动点轨迹方程的步骤：①建系，写(设)出相关点的坐标、线的方程，动点坐标一般设为(x,y)，②分析动点满足的条件，并用等式描述这些条件，③化简，④验证：满足条件的点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都满足条件。

[举例1] 方程所表示的曲线是：　　　 (　　　 )

　　 A　　　　　　　　　 B　　　　　　　　　 C　　　　　　　　 D　　　　　　　　　　　　

解析：原方程等价于：，或；

其中当需有意义，等式才成立，即，此时它表示直线上不在圆内的部分，这是极易出错的一个环节。选D。

[举例2] 已知点A(－1，0)，B(2，0)，动点M满足2∠MAB=∠MBA，求点M的轨迹方程。

解析：如何体现动点M满足的条件2∠MAB=∠MBA

是解决本题的关键。用动点M的坐标体现2∠MAB=∠MBA

的最佳载体是直线MA、MB的斜率。

设M(x，y)，∠MAB=，则∠MBA=2，它们是直线

MA、MB的倾角还是倾角的补角，与点M在x轴的上方

还是下方有关；以下讨论：

①　　 若点M在x轴的上方,

此时，直线MA的倾角为，MB的倾角为-2，

　 (2)

 得： _，∵．

当2时, =45⁰，为等腰直角三角形,此时点M的坐标为(2,3)，它满足上述方程．

②当点M在x轴的下方时, y＜0，同理可得点M的轨迹方程为,

③当点M在线段AB上时,也满足2∠MAB=∠MBA,此时y=0(-1＜x＜2)．

综上所求点的轨迹方程为．

[巩固1]右图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，

则它的方程是

A．()·()=0　

B．()·()=0

C．()·()=0　

D．()·()=0

[巩固2]已知点R(-3，0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足·=，2+3=，当点P移动时，求M点的轨迹方程。

[迁移]正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M是棱AB的中点，点P是平面ABCD上的一动点，且点P到直线A₁D₁的距离两倍的平方比到点M的距离的平方大4，则点P的轨迹为：　　　　　　 A．圆　 B．椭圆　　 C．双曲线　　 D．抛物线

5.解决直线与二次曲线相交弦的问题，常“设而不求”，即将直线方程与二次曲线方程联立方程组，利用代入消元法转化为关于x(或y)的一元二次方程，将题中所给的几何量用韦达定理、△刻划出来；如：弦长|AB|==，(其中k为直线AB的斜率)，或|AB|==。涉及斜率及其弦中点的问题常用“点差法”，即设出弦的两端点坐标分别代入二次曲线方程作差，此后略作变化(分离出弦的斜率)，即可得到弦的斜率与弦中点的横纵坐标之间的关系。

[举例1] 在平面直角坐标系xOy中，抛物线上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足(如图所示)．则得重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程为　　　　 ；

解析：显然直线AB的斜率存在，记为k，AB的方程记为：y=kx+b,(b≠0), A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),将直线方程代入y=x²得：x²-kx-b=0,则有：⊿=k²+4b>0 　①,x₁+x₂=k 　②, x₁x₂= -b 　③，又y₁=x₁²，y₂=x₂²

∴y₁y₂=b²；而 x₁x₂+ y₁y₂=0，得：-b+ b²=0且b≠0，∴b=1，代入①验证，满足；故y₁+y₂=k(x₁+x₂)+2=k²+2；设△AOB的重心为G(x,y)，则x==　　　 ④,

y==　 　⑤,由④⑤两式消去参数k得：G的轨迹方程为。

注：上述求轨迹的方法称为“参数法”，一般先设法将动点坐标用“参数”表示，再消参数。

[举例2]过椭圆的右焦点F₂并垂直于x轴

的直线与椭圆的一个交点为B，椭圆上不同的两点A(x₁,y₁),C(x₂,y₂)满足条件：|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差

数列，则弦AC的中垂线在y轴上的截距的范围是　　 。

解析：对|F₂A|+|F₂C|=使用焦半径公式得：5-x₁+5-x₂=x₁+x₂=8.此后，可以设AC的中垂线方程，代入椭圆方程，使用韦达定理；也可以用“点差”：记AC中点M(4，y₀), 将A、C两点的坐标代入椭圆方程后作差得：

，∴,于是有：AC的中垂线的方程为：

，当x=0时：=-，此即AC的中垂线在y轴上的截距，注意到：M(4，y₀)在椭圆“内”，∴，得-<<,∴-<-<。

[巩固1]已知抛物线y²=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)两点，则y₁²+y₂²的最小值是　　　 　　.

[巩固2]过抛物线上一定点P()()作两条直线分别交抛物线于A()，B()，若PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，则=　　　 　。

4．直线与圆锥曲线的公共点问题一般用方程组的解研究。直线与曲线有几个公共点，方程组就有几组解；直线与圆锥曲线相切体现为：在解方程组的过程中，“消元”后得到的一元二次方程有两个相等的实根，即⊿=0；抛物线的切线还可以用导数研究(视抛物线方程为二次函数)。

[举例1]设抛物线y²=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是：(　　 )

A．[-，]　　 B．[－2，2]　 C．[－1，1]　 D．[－4，4]

解析：Q(-2，0)，显然直线 斜率存在，记为k，则的方程为：y=k(x+2),代入抛物线方程得：k²x²+4(k²-2)x+4k²=0,①当k=0时，方程有解；②当k≠0时，⊿=64(1-k²)≥0即

-1≤k<0或0<k≤,故选C。

[举例2]如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.则△APB的重心G的轨迹方程为　　　　　　 .

解析：设切点A、B坐标分别为，

∵y^/=2x，∴两切线斜率分别为：2x₀和2x₁,

于是：切线AP的方程为：

　 切线BP的方程为：

解得P点的坐标为：

所以△APB的重心G的坐标为 ，

∴，结合=代入点P所在在直线方程，得到重心G的轨迹方程为：

注：上述求轨迹的方法称为“代入法”，问题的基本结构是：动点N在已知曲线C₀上移动，动点M随之移动(伴随点)，求动点M的轨迹方程；一般解法是：寻找被动点M的坐标 (x,y)与主动点N的坐标(x₀,y₀)之间的关系，并用x,y表示x₀,y₀，再代入曲线C₀的方程即可；此法为“参数法”的一种，借助M、N两点坐标之间的关系及曲线C₀的方程消去两个参数x₀,y₀。

[巩固1] 已知直线与抛物线相切，则

[巩固2]对于抛物线C：y²＝4x，我们称满足y₀²＜4x₀的点M(x₀，y₀)在抛物线的内部.若点M(x₀，y₀)在抛物线内部，则直线l：y₀y=2(x+ x₀)与曲线C　　　　

A.恰有一个公共点　　　　　　　　　　　　　　　 B.恰有2个公共点

C.可能有一个公共点，也可能有两个公共点　　　　 D.没有公共点

[迁移]直线y=ax+1与双曲线3x²-y²=1的两支分别交于A、B两点，则a的取值范围是　　 。

3．过抛物线y²=2px的焦点直线与抛物线y²=2px交于A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)两点，记住并会证明：，，|AB|=(其中为弦AB的倾角，=90⁰时的弦AB即为抛物线的通经)，证明该结论时为避免讨论斜率不存在情形，可设直线方程为：x=my+(其中m为AB的斜率的倒数)；抛物线焦点弦问题常用定义，如：以焦点弦为直径的圆与准线相切。

[举例1]抛物线y²=2px上弦长为a(a≥2p)的弦的中点到y轴的距离的最小值为：　　　 。

解析：抛物线的准线的方程为：x= -,焦点F(，0)，记弦的两端点为A、B，AB的中点为M，它们在上的射影分别是A₁，B₁，M₁；于是有：|AF|=|AA₁|，|BF|=|BB₁|，

M到y轴的距离d=|MM₁|-=(|AA₁|+|BB₁|)-=(|AF|+|BF|)-≥|AB|-

=,当且仅当A，B，F共线时等号成立。注：过焦点的弦最短是通经，长为2p，当

a<2p时，A，B，F不可能共线。

[举例2] 给定抛物线C：y²＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．设l的斜率为1，则与夹角为　　　　 ；

解析：抛物线的焦点为F(1,0)，直线的方程为：x=y+1；将其代入抛物线方程得：y²-4y-4=0

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，则有y₁+y₂=4,y₁y₂= -4，又x₁=y₁², x₂=y₂²,∴x₁ x₂=(y₁ y₂)²=1.

=(x₁,y₁)·(x₂,y₂)=x₁x₂+y₁y₂= -3.

=,∴cos<>=故与夹角为-arccos.

注：在研究形如y²=2px的抛物线与直线的有关问题时，设直线方程为x=my+b的形式，不仅可以简化计算，有时还可以避免对直线斜率是否存在的讨论。

[巩固1]AB是抛物线的一条焦点弦，|AB|=4，则AB中点C的横坐标是(　　 )

　　　 A．2　　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．

[巩固2]过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A、B两点，且⊿OAB(O为坐标原点)的面积为，则m⁶+m⁴=　　　　　　

2.涉及到抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题常用定义；有时，抛物线上的点到与准线平行的直线的距离需转化为到准线的距离。

[举例1]已知A(3，1)，抛物线上一点P(x,y)，则|PA|+y的最小值为　　　 。

解析：抛物线的准线为：y= -1，焦点F(0，1)，记P在直线y= -1上的射影为Q，

则y=|PQ|-1=|PF|-1，|PA|+y=|PA|+|PF|-1，问题转化为：求|PA|+|PF|的最小值，易见：

|PA|+|PF|≥|AF|=3，当且既当F、P、A共线时等号成立，故：|PA|+y的最小值为2。

[举例2]已知椭圆E的离心率为e，两焦点为F₁，F₂，

抛物线C以F₁为顶点，F₂为焦点，P为两曲线的一个

公共点，若=e，则e的值为：

A．　　 B．　　 C．　 　D．

解析：记抛物线的准线交x轴于M，P在上的射影

为Q，则|F₁M|=|F₁F₂|=2c，即的方程为x= -3c，|PF₂|=|PQ|，又

=e，即=e，∵F₁是椭圆的左焦点，∴|PQ|为P到椭圆左准线的距离，即

为椭圆的左准线，于是有：-3c= -e=，选A。

[巩固1] 一动圆圆心在抛物线上，过点(0 , 1)且与定直线相切，则的方程为(　 )　

A.　　　B.　　　C.　　D.

[巩固2] 椭圆C₁：的左准线为，左、右焦点分别为F₁，F₂，抛物线C₂的准线也为，焦点为F₂，记C₁与C₂的一个交点为P，则= (　　 )

A．　　　　　 B．1 　　　　　　C．2　　　　　　　 D．与a,b的取值有关

1．不要把抛物线的标准方程和二次函数的一般形式混为一谈；抛物线的焦点位置取决于哪个变量是一次的及其系数的正负；抛物线标准方程中的“”表示焦准距。

[举例1] 抛物线的准线方程为，则的值为

(A)　　　　 (B) 　　　　　　　(C)　　　　　　　　 (D)

解析：抛物线的标准方程为：，其准线方程为：y= -,∴a=，故选B。

[举例2]若椭圆(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，线段F₁F₂被抛物线y²=2bx的焦点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为 ：　　

(A)　　 　　(B)　　 　　(C)　　 　　(D)

解析：抛物线y²=2bx的焦点为F(，0)，∵F将线段F₁F₂分成5∶3的两段，

∴(+c)：(c -)=5∶3c=2be=,选D。

[巩固1]点M(5,3)到抛物线y=ax²的准线的距离等于6,那么抛物线的方程是(　　 )

　(A)y=12x²　 (B)y=x²或y=-x²　 (C)y=-36x²　 (D)y=12x²或y=-36x²

[巩固2] 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为

A．　　　　　　　 B．　　 C．　　　　　　 D．

5．研究双曲线上一点与两焦点组成的三角形(焦点三角形)问题时，在运用定义的同时还经常用到正、余弦定理。

[举例1] 双曲线的两焦点为F_1、、F₂，P在双曲线上，且满足|PF₁|+|PF₂|=2，则⊿P F₁F₂的面积为　 (　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．　　 　B．1 　　　　C．2　　　　 　D．4

解析：不妨设F_1、、F₂是双曲线的左右焦点，P为右支上一点，|PF₁|-|PF₂|=2　 　①

|PF₁|+|PF₂|=2　 　②，由①②解得：|PF₁|=+，|PF₂|=-，得：

|PF₁|²+|PF₂|²=4+4=|F₁F₂|²，∴PF₁⊥PF₂，又由①②分别平方后作差得：|PF₁||PF₂|=2，选B。

[举例2]等轴双曲线x²-y²=a²,(a>0)上有一点P到中心的距离为3，那么点P到双曲线两个焦点的距离之积等于　　　 。

解析：由“平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和”得：

2(|PF₁|²+|PF₂|²)=36+4c²,又c²=2 a²，得|PF₁|²+|PF₂|²=18+4 a²　 　①，而||PF₁|-|PF₂||=2 a　 　②

由　 ①-②²得：|PF₁||PF₂|=9。

[巩固1] 已知椭圆与双曲线(>0, >0)具有相同的焦点F₁，F₂，设两曲线的一个交点为Q，∠QF₁F₂=90⁰，则双曲线的离心率为　　　　 。

[巩固2] 双曲线两焦点为F₁，F₂，点P在双曲线上，直线PF₁，PF₂倾斜角之差为则△PF₁F₂面积为：A．16　　　 B．32　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 C．32　　　　　　　　　　　 D．42

[提高] 设双曲线(a，b＞0)两焦点为F_1、、F₂，点P为双曲线右支上除顶点外的任一点，则⊿PF₁F₂的内心的横坐标为　　　　　　　　　　　 (　　 )

A．a　　　 B．c　　　 C．　　　 D．与P点的位置有关

4．研究双曲线上的点到其焦点的距离问题时，往往用定义；关注定义中的“绝对值”，由此导致一个点在双曲线的左支和右支上的情形是不同的。

[举例1]已知向量=(,),=(,-)，双曲线·=1上一点M到F(7,0)的距离为11，N是MF的中点，O为坐标原点，则|ON|=

A．　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　 D．或

解析：双曲线方程为：，左支上的点到右焦点F(7,0)的距离的最小值为12，

∴M是双曲线右支上的点，记左焦点为F^/，则|MF^/|-|MF|=2a，即|MF^/|=21，在⊿MFF^/中，ON中位线，∴|ON|=，故选C。注：本题中，若将M到F(7,0)的距离换为13，将有两种情况(M可能在双曲线的右支上，也可能在左支上)。

[举例2] 设双曲线(a，b＞0)两焦点

为F_1、、F₂，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，过

焦点F₂作∠F₁QF₂的平分线的垂线，垂足为M，则M

点轨迹是(　 )　　　　

A．椭圆的一部分；　　　　　　 B．双曲线的一部分；

C．抛物线的一部分；　　　　 　D．圆的一部分

解析：不妨设Q在双曲线的右支，延长F₂M交QF₁于P，

在⊿QF₁F₂中，QM既是角平分线又是高，故|QP|=|QF₂|，

又|QF₁|-|QF₂|=2a，∴|QF₁|-|QP|=2a即|PF₁|=2a，在⊿PF₁F₂中，MO是中位线，∴|MO|=a,

∴M点轨迹是圆的一部分，选D。

[巩固1]已知点P在双曲线的左支上， 点M在其右准线上，F₁是双曲线的左焦点，且满足：

， =，则此双曲线的离心率为　　　　 。

[巩固2]F₁，F₂分别为双曲线(>0,>0)左右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若最小值为8，则双曲线的离心率e的取值范围是　　　　　 。

[迁移]P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆(x+5)²+y²=4和(x-5)²+y²=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A．6　　　　　 B．7 　　　　　C．8　　　　　 D．9