4．已知函数f(x)的图象关于直线x=-1对称，且当x∈(0,+∞)时，，那么当x∈(-∞,-2)时，f(x)的解析式是(　　 )

A．　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．

3．已知函数，则的值是(　　 )

A．9　　　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　　 C．-9　　　　　　　　　　　　 D．-

2．已知函数，函数g(x)的图象与函数y=f^-1(x+1)的图象关于直线y=x对称，则g(-1)的值是(　　 )

A．　　　　　　　　　　　 B．-1　　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　 D．-3

1．函数的定义域是(　　 )

A．　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．

　[例1] 在数列{a_n}中，已知a₁=1/3,且前n项的算术平均数等于第n项的2n-1倍(n∈N)，求{a_n}的通项公式。

分析　 本题的特点是数列{a_n}的递推公式是间接给出的，需要利用已知条件进行推导，然后再根据递推公式求通项公式。

解　 由已知得，即s_n=n(2n-1)a_n,由a_n=s_n-s_n-1(n≥2),知

a_n=n(2n-1)a_n-(n-1)(2n-3)a_n-1,整理得(n≥2)，此时数列{a_n}满足命题2的2),因此，n=1时也成立，所以a_n=(n∈N)

[例2]已知数列{a_n}的前n项和为s_n,满足2s_n²=2a_ns_n-a_n(n≥2)且a₁=2,试求a_n的表达式。

分析　 这类题一般思路是利用a_n=s_n-s_n-1(n≥2)进行转化，但要注意选择目标定向。

解　 　由2s_n²=2a_ns_n-a_n及a_n=s_n-s_n-1(n≥2)得s_n-1-s_n=2s_ns_n-1(n≥2)即 (n≥2)，数列{}满足命题1的1)，所以=(n≥2)，

从而， a_n=s_n-s_n-1=- (n≥2)，

因此,

　[例3] 已知数列{a_n}中a₁=3,a₂=6,且a_n+2=a_n+1-a_n(n∈N).求{a_n}的通项公式。

　 　分析 　这道题如果采用“计算----归纳----猜想----证明”的思维模式比较麻烦，若从递推关系式的结构入手比较容易。

解　 由已知p=1,q=-1,p+q≠1, {a_n}满足命题3的2)，方程²++1=1的根_1，2= ，代入=3(2+)(1+)^n-1及a_n=得：

　a_n=6cos(n∈N)　 　　　　

点评　 　解数学题的关键是根据题目的信息，仔细审题，合理联想，确定解题目标，利用划归转化的数学思想，将陌生问题转化为熟悉的问题，复杂问题化为简单为题，抽象问题化为具体问题，再利用有关的知识解题。

参考文献：吴振奎，斐波那提数列[M].沈阳：辽宁教育出版社，1987.

定义1^。 如果一个数列给出了初始条件和递推公式，就称这个数列为递推数列。

定义2^。 如果一个递推数列的递推公式是线性的，就称这个数列为线性递推数列，否则称为非线性递推数列。

定义3^。 如果数列{a_n}满足如下两个条件：

(ⅰ)a_i(i=1,2,3,…,k)的值已知; (ⅱ)a_n+k=,p_j,q为常数。就称该数列为一个k阶线性递推数列。特别地，当q=0时，称数列{a_n}为一个k阶齐次线性递推数列。

定义4^。 若数列{a_n}满足a₁=b,a_n+1=f(n)a_n+g(n)(n∈N,b≠0,f(n)和g(n)是n的函数)，则称之为一阶线性递推数列的推广形式。

命题1　 若数列{a_n}满足a₁=b, a_n+1=qa_n+d(bd≠0),则 1)q=1时，a_n=b+(n-1)d；2)d=0时, a_n=bq^n-1 ；3)d≠0且q≠1时, a_n=[bqⁿ+(d-b)q^n-1-d]/(q-1)。

证明　　 这是一阶线性递推数列，1)和2)是显然的，只证3)。

由已知a_n+1=qa_n+d(n≥1),得a_n=qa_n-1+d(n≥2),从而a_n+1-a_n=q(a_n-a_n-1),由此知{a_n+1-a_n}是等比数列，所以a_n+1-a_n=(a₂-a₁)q^n-1=(qb+d-b)q^n-1,再把a_n+1=qa_n+d代入上式，得a_n=[bqⁿ+(d-b)q^n-1-d]/(q-1).

命题2　 若数列{a_n}满足a₁=b, a_n+1=f(n)a_n+g(n)(n∈N), b≠0,f(n)和g(n)都是n的函数，则1)f(n) ≡1时，a_n=b+;2)g(n)≡0时，a_n=b;3) a_n+1=f_i(n)a_n+g_i(n)(i=1,2)时，a_n=[g₁(n)-g₂(n)]/[f₂(n)-f₁(n)].

证明　 这是一阶线性递推数列的推广形式。

当f(n)≡1时, a_n+1-a_n=g(n),于是a₂-a₁=g(1), a₃-a₂=g(2),…,a_n-a_n-1=g(n-1),进而得a_n-a₁=,即a_n=b+。

当g(n)≡0时,有=f(n),于是=f(1), =f(2), …, =f(n-1),左右两边分别相乘得：=，因此a_n=b。

当a_n+1=f₁(n)a_n+g₁(n)及a_n+1=f₂(n)a_n+g₂(n)时，解方程组得：

a_n=[g₁(n)-g₂(n)]/[f₂(n)-f₁(n)]。

命题3　 若数列{a_n}满足a₁=b,a₂=c,a_n+1=pa_n+qa_n-1(n≥2)，且pq≠0,则当

1) p+q=1时，;

2) p+q≠1且p²+4q≠0时，a_n=，其中、是方程的根(、∈C)，;

3)p+q≠1且p²+4q=0时，a_n=(n-1)(p/2)^{n-2c-(n-2)(p/2)n-1}b(n∈N).

证明　 这是二阶齐次线性递推数列。

当p+q=1时，a_n+1=(1-q)a_n+qa_n-1(n≥2),即a_n+1-a_n=-q(a_n-a_n-1),数列{a_n+1-a_n}是等比数列，因此a_n+1-a_n=(a₂-a₁)(-q)^n-1=(c-b) (-q)^n-1，由命题2的1)的。

当p+q≠1时，引进实数将a_n+1=pa_n+qa_n-1改写成：，若数列{a_n+1+a_n}为等比数列，则=q/(p+),即，此方程在复数集C中总有二根，，记

f()=a_n+1+a_n= ,

当p²+4q≠0时，≠，于是有方程组

解得:a_n=。

当p²+4q=0时，₁=₂=-，

即　 a_n+1=a_n+=a_n+,

　 　　,

,

　　 　…………………………………………………………，

于是猜想：a_n= 　(n∈N)，

下面用数学归纳法证之：

①当n=1时，显然成立。

②假设当n=k(k∈N₊)时命题成立，即a_k=,

那么n=k+1时，a_k+1=a_k+=.

这说明n=k+1时命题也成立。

从而a_n= 　(n∈N)。

　　 命题1、2、3是高中数学中常见的递推数列，对于以其它形式出现的递推数列，我们可以采用化归法进行转化，进而求解，这里不再赘述。

14. (1)研究木块m

F-μ₂mg=ma₁　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………2分

研究木板M

μ₂mg-μ₁(mg+Mg)=Ma₂　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………2分

L=a₁t²-a₂t²　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　…………2分

解得：t=1s　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………2分

(2)当F≤μ₁(mg+Mg)时，f=0N　　　　　　　　　　　　　 …………2分

当μ₁(mg+Mg)<F≤10N时，M、m相对静止

则有：F-μ₁(mg+Mg)=(m+M)a

f=ma

即：f=-1(N)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………2分

当10N <F时，m相对M滑动，此时摩擦力f=μ₂mg=4N　　　 …………2分

　　　　　　　　　　　　　　　　 …………2分

13. (1)在C点对轨道的压力等于重力的倍，由牛顿第三定律得，在C点轨道

　　 对小球的支持力大小为mg--------1分。

　　 设小球过C点速度v₁ 　--------2分　　　　　

　　 P到C过程，由机械能守恒：　　 　---------2分　　

解得：　 ---------------1分

(2)设小球能到达O点，由P到O，机械能守恒，到O点的速度v₂：

　　　　　 　　　　　　　　　--------2分　

　　 设小球能到达轨道的O点时的速度大小为v₀，则

　　　　　　　 mg =　　　 v₀　　 --------2分　

　　　　　　　 v₂ >v₀ 　所以小球能够到达O点。　　 --------2分　

(3)小球在O点的速度

离开O点小球做平抛运动：

水平方向： --------1分　 　　竖直方向：--------1分　

且有：--------2分　 　　解得：　　

再次落到轨道上的速度--------2分

12.(1)第一次飞行中，设加速度为

匀加速运动 由牛顿第二定律 解得

(2)第二次飞行中，设失去升力时的速度为，上升的高度为

匀加速运动

设失去升力后的速度为，上升的高度为

由牛顿第二定律

解得

(3)设失去升力下降阶段加速度为；恢复升力后加速度为，恢复升力时速度为

由牛顿第二定律 F+f-mg=ma₄ 且 V₃₌a₃t₃

解得t₃=(s)(或2.1s)

11. 解：(l)警车在追赶货车的过程中，当两车速度相等时．它们的距离最大，设警车发动后经过t₁时间两车的速度相等．则

　 (1分)　　　 s_货=(5.5+4)×10m = 95m　 (1分)

s_警(1分) 所以两车间的最大距离△s=s_货-s_警=75m(2分)

(2) v₀=90km/h=25m/s，当警车刚达到最大速度时，运动时间(l 分)

s_货’=(5.5+10)×10m=155m　 (1分)s_警’= (1分)

因为s_货’＞s_警’，故此时警车尚未赶上货车 (1分)

(3)警车刚达到最大速度时两车距离△s’=s_货’-s_警’=30m ，警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过△t时间追赶上货车．则：　 (2分)

所以警车发动后要经过才能追上货车　 (2 分)