2.在进行复数的运算时，不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论.

当时，不总是成立的.

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)

1.对于，是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐体会.

2. 重要结论

(1)　　　 对复数z 、、和自然数m、n，有

，，

(2) ，，，；

　　　 ，，，.

(3) ，，.

(4)设，，，，，

1.复数加、减法的几何意义

(1)加法的几何意义

复数　 是以、为两邻边的平行四边形对角线所对应的复数.

(2)复数减法的几何意义

复数是连接向量、的终点，并指向被减数的向量所对应的复数.

5.设复数满足且在复平面上对应的点在第二象限、四象限的角平分线上，求的值

　　 　　　§11.2　　 复数的运算

4.已知且求复数

3.　实数m取何值时，复数是(1)纯虚数；(2)在复平面上的对应点位于第二象限．

2.复数系方程有实数根，则这个实数是.

1. 设复数z满足关系，那么z等于(　 )．

　A．　　　　　　 B．　　　　 C．　　　　　 D．

[例1]两个共扼复数的差是(　　　 )

.实数　 .纯虚数　 .零　　　　 .零或纯虚数

　错解:当得到时就错误的选B，忽略了b可以为零的条件.

正解：设互为共扼的两复数分别为及则 或

当时，，为纯虚数

当时，，，因此应选D.

　 　注：要认真审题，看清题设条件，结论. 学会全面辩证的思考问题，准确记

　　　　 忆有关概念性质.

　[例2]判断下列命题是否正确

　　　　 (1)若, 则

　　　　 (2)若且，则

　　　　 (3)若，则

　 错解：(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，从而(1)是正

确的

　　　　 (2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复

数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而认为命题(2)是正确的.

　　　　 (3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的

前提条件.

　 正解：(1)错，反例设则

　　　　　　 (2)错，反例设，，满足，但

不能比较大小.

　　 (3)错，，，故，都是虚数，不能比较大小.

[例3]实数分别取什么值时，复数是(1)实数；

(2)虚数;(3)纯虚数.

　 解：实部，虚部.

(1)当 时，是实数；

(2)当 ，且 时，是虚数；

(3) 当 或 时是纯虚数．

　[例4] 设，当取何值时，

　　 　(1) ;　 (2).

分析：复数相等的充要条件，提供了将复数问题转化为实数问题的依据，这是解复数问题常用的思想方法，这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数 的方程，求出 的值．

解：(1)由可得：解之得，

　即：当 时

　(2)当 可得：

　 或 ，即 时.

[例5]是两个不为零的复数，它们在复平面上分别对应点P和Q，且，证明△OPQ为直角三角形(O是坐标原点)，并求两锐角的度数．

分析　 本题起步的关键在于对条件的处理．等式左边是关于的二次齐次式，可以看作二次方程求解，也可配方．

解：由(，不为零)，得

　　即向量与向量的夹角为，

　　在图中，，又，设，

　　在△OPQ中，由余弦定理

△OPQ为直角三角形，

．