3.重点、难点：深刻理解确定双曲线的形状，大小的几个主要特征量，掌握定义，性质，掌握直线与双曲线的位置关系。

2.双曲线的标准方程及几何性质

说明：(1)双曲线的两个定义是解决双曲线的性质问题和求双曲线方程的两个有力工具，所以要对双曲线的两个定义有深刻的认识。

(2)双曲线方程中的 与坐标系无关，只有焦点坐标，顶点坐标，准线及渐近线方程与坐标系有关，因此确定一个双曲线的标准方程需要三个条件：两个定形条件 ，一个定位条件，焦点坐标或准线，渐近线方程。

求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹方程法。

(3)直线和双曲线的位置关系，在二次项系数不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和有关公式，求解问题的类型也相同。唯一不同的是直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切。

利用共渐近线的双曲线系 或 方程解题，常使解法简捷。

(4)双曲线的焦半径，当点P在右支(或上支)上时，为 当点P在左支(或下支)上时，为 利用焦半径公式，解题简洁明了，注意运用，

1.双曲线的定义

第一定义：平面内与两个定点 距离的差的绝对值等于 的点的轨迹，即点集 。( 为两射线；2 无轨迹。)无外面的绝对值则为半条双曲线，左-右为右支，上-下为下支等。

第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线 的距离的比是常数 的动点的轨迹。即点集 = ，一个比产生整条双曲线。

1、　 圆锥曲线的定义是根本，对于某些问题利用圆锥曲线的定义来求解比较简捷

涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形，常用第一定义结合正余弦定理；涉及焦点、准线、圆锥曲线上的点，常用统一的定义。

　 例1 、 已知两个定圆O₁和O₂，它们的半径分别为1和2，且|O₁O₂|=4，动圆M与圆O₁内切，又与圆O₂外切，建立适当的坐标系，求动圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线。

解：以O₁O₂的中点O为原点，O₁O₂所在直线为轴建立平面直角坐标系。由|O₁O₂|=4有O₁(-2，0)，O₂(2，0)。设动圆的半径为r。由动圆M与圆O₁内切有|MO₁|=|r-1|. 由动圆M与圆O₂内切有|MO₂|=r+2。∴|MO₁|+|MO₂|=3或|MO₁|-|MO₂|=-3,∵|O₁O₂|=4∴|MO₁|-|MO₂|= -3∴M的轨迹是以O₁、O₂为焦点，长轴为3的双曲线的左支。所以M的轨迹方程为 　(x<0)

[思维点拔]利用圆锥曲线定义求轨迹是一种常用的方法

　 　变式练习：F₁、F₂是椭圆 　(a>b>0)的两焦点，P是椭圆上任一点, 从任一焦点引∠F₁PF₂的外角平分线的垂线，垂足为Q的轨迹为(　 )

A．圆　　 B．椭圆　　 C．双曲线　　 D．抛物线

延长垂线F₁Q交F₂P的延长线于点A

等腰三角形APF₁中， 　

选A

　 例2：已知双曲线 (a＞0，b＞0)，P为双曲线上任一点，∠F₁PF₂=θ, 求ΔF₁PF₂的面积．

　　 解：在ΔF₁PF₂中，由三角形面积公式和余弦定理得S_ΔF1PF2＝ ｜PF₁｜·｜PF₂｜sinθ　 ①(2c)²＝｜PF₁｜²+｜PF₂｜²-2｜PF₁｜·｜PF₂｜cosθ ②由双曲线的定义可得｜PF₁｜-｜PF₂｜=2a, 即｜PF₁｜²+｜PF₂｜²-2｜PF₁｜·｜PF₂｜=4a² ③　 由②③得｜PF₁｜·｜PF₂｜= ④ 将④①代入得S_ΔF1PF2＝b² =b²cot ,所以双曲线的焦点三角形的面积为b²cot ．

[思维点拔]焦点三角形中，通常用定义和正余弦定理

例3：已知A( ，3)为一定点，F为双曲线 的右焦点，M在双曲线右支上移动，当｜AM｜+ ｜MF｜最小时，求M点的坐标．

　　 解：∵过M作MP准线于点P，则 ｜MF｜＝｜MP｜，∴｜AM｜+ ｜MF｜＝｜AM｜+｜MP｜≤｜AP｜．当且公当A、M、P三点共线时，｜AM｜+ ｜MF｜最小。此时M( ，3)。

[思维点拔]距离和差最值问题，常利用三角形两边之和差与第三边之间的关系.　 数量关系用定义来进行转换

　 　变式：设P(x,y)是椭圆 　(a>b>0)上一点，F₁、F₂为椭圆的两焦点，求｜PF₁｜·｜PF₂｜的最大值和最小值。

解：由椭圆第二定义知｜PF₁｜＝a+ex,｜PF₂｜＝a-ex, 则｜PF₁｜·｜PF₂｜=a²-e²x²,而0≤x²≤a²,所以｜PF₁｜·｜PF₂｜的最大值为a²，最小值为b²。

例4．过抛物线y²＝2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于P₁、P₂两点，求证：以P₁P₂为直径的圆和这抛物线的准线相切．

分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．

证明：如图2-17．设P₁P₂的中点为P₀，过P1、P₀、P₂分别向准线l引垂线P₁Q₁，P₀Q₀，P₂Q₂，垂足为Q₁、Q₀、Q₂，则

｜P₁F｜＝｜P₁Q₁｜，｜P₂F｜＝｜P₂Q₂｜

∴｜P₁P₂｜＝｜P₁F｜+｜P₂F｜

＝｜P₁Q₁｜+｜P₂Q₂｜＝2｜P₀Q₀｜

所以P₀Q₀是以P₁P₂为直径的圆P₀的半径，且P₀Q₀⊥l，因而圆P₀和准线l相切．

[思维点拔]以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切．类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离；以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．以上结论均可用第二定义证明之．

变式：求证：以双曲线的任意焦半径为直径的圆，与以实轴为直径的圆相切．

取F1P的中点为O1，连结O1O，只须证明：以F1P为直径的圆与实轴A1A2为直径的圆内切．

在△PF1F2中，O1O为△PF1F2的中位线

故以双曲线的任意焦半径为直径的圆，与以实轴为直径的圆内切．

例5、求过定点(1,2)，以x轴为准线，离心率为0.5的椭圆的下顶点的轨迹方程。

解：设下顶点为A(x,y)，由题意知x轴为椭圆的下准线，设下焦点为F(x0,y0)

则 。由椭圆定义

将 代入即可得椭圆方程为：

2、　 思维方式：等价转换思想，数形结合

特别注意：圆锥曲线各自定义的区别与联系

1、　 知识精讲：

涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形，常用第一定义结合正余弦定理；

涉及焦点、准线、圆锥曲线上的点，常用统一的定义。

椭圆的定义：点集M={P| |PF₁|+|PF₂|=2a，2a＞|F₁F₂|}；

双曲线的定义：点集M={P|︱|PF₁|-|PF₂|︱=2a， 　}的点的轨迹。

抛物线的定义：到一个定点F的距离与到一条得直线L的距离相等的点的轨迹．

统一定义：M={P| ，}0＜e＜1为椭圆，e>1为双曲线，e＝1为抛物线

重点、难点：培养运用定义解题的意识

　　　　　 教材P120闯关训练

3.待定系数法和数形结合是最基本的方法与思想.在解题时要熟练运用.

2.在椭圆的两种标准方程中，总有a＞b＞0， 并且椭圆的焦点总在长轴上；