1.椭圆定义是解决问题的出发点,要明确参数a,b,c,,e的相互关系,几何意义与一些概念的联系.尤其是第二定义,如果运用恰当,可收到事半功倍的效果(如关于求焦半径的问题).

例1：(1) 已知椭圆的对称轴是坐标轴,O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA=2/3。则椭圆方程为________________。

　(2) 设椭圆 上的点P到右准线的距离为10，那么点P到左焦点的距离等于_______。

　(3) 已知F₁为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点与上顶点，P为椭圆上的点，当PF₁⊥F₁A，PO∥AB(O为椭圆中心)时，椭圆的离心率e=_______。(教材P 页例1)。

(4)已知椭圆 上的点P到左焦点的距离等于到右焦点的距离的两倍，则P的坐标是_________。

解：(1) ∵椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA=2/3，∴点A不是长轴的端点。∴|OF|=c，|AF|=a=3，∴c=2，b²=5。∴椭圆方程是 ，或 。

(2)由椭圆的第二定义得：点P到左焦点的距离等于12。

(3) 设椭圆方程为 (a＞b＞0), , F₁(－c，0)，则点 ，由PO∥AB得k_AB=k_OP即 ，∴b=c，故 。

(4)设P(x,y),F₁,F₂分别为椭圆的左右焦点。由已知椭圆的准线方程为 ，

故 ，∵|PF₁|=2|PF₂|，∴ ，故 。

[思维点拨]1)求离心率一般是先得到a，b，c的一个关系式，然后再求e； 2)由椭圆的一个短轴端点,一个焦点,中心O为顶点组成的直角三角形在求解椭圆问题中经常用到；(3)结合椭圆的第二定义,熟练运用焦半径公式是解决第(3)小题的关键。

例2：如图，设E： (a>b>0)的焦点为 与 ，且 。求证： 的面积 。(图见教材P119页例2的图)

证明：设 ，则 ，

　　由余弦定理有 ＝

这样即有

[思维点拨：解与 有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合 来解决。

例3：若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM(O为原点)的斜率为 ，且OA⊥OB，求椭圆的方程。

解：设椭圆方程为ax²+by²=1，A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),M( ).　

由 消去y得 .　

∴ 　 =1－ ,

∴ ,∴由 得 ……①;　 又OA⊥OB,∴x₁x₂+y₁y₂=0,即

x₁x₂+(1-x₁)(1-x₂)=0,2x₁x₂-(x₁+x₂)+1=0,∴ , ∴a+b=2……②.

联立①②得 ∴方程为 .

[思维点拨]“OA⊥OB x₁x₂+y₁y₂=0”(其中A(x₁,y₁),B(x₂,y₂))是我们经常用到的一个结论.

例4:(备用)已知椭圆的焦点是F₁(－1，0),F₂(1，0),P为椭圆上的一点,且|F₁F₂|是|PF₁|和|PF₂|的等差中项。(1)求椭圆方程； (2)若点P在第三象限，且∠P F₁F₂=120⁰，求tan∠F₁PF₂。

解：(1)由题设2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|，c=1。∴2a=4，∴b= 。∴椭圆方程为 。

(2)设∠F₁PF₂=θ,则∠PF₂ F₁=60⁰－θ,由正弦定理并结合等比定理可得到

,

∴化简可得 ,∴ ,

从而可求得tan∠F₁PF₂= 。

[思维点拨]解与△P F₁F₂有关的问题(P为椭圆上的点)常用正弦定理或余弦定理，并且结合|PF₁|+|PF₂|=2a来求解。

例5:(备用)(1)已知点P的坐标是(-1,3)，F是椭圆 的右焦点,点Q在椭圆上移动，当 取最小值时，求点Q的坐标，并求出其最小值。

　　 　(2)设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率为 ，已知点P 这

个椭圆上的点的最远距离是 ，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离是

的点的坐标。

解(1)由椭圆方程可知a=4,b= ,则c=2, ,

椭圆的右准线方程为x=8　 过点Q作QQ^’ 于点Q^’,

过点P作PP^’ 于点P^’,则据椭圆的第二定义知,

,

易知当P、Q、Q^’在同一条线上时，即当Q^’与P^’点重合时， 才能取得最小值，最小值为8-(-1)=9，此时点Q的纵坐标为-3，代入椭圆方程得 。

　因此,当Q点运动到(2,-3)处时, 取最小值9.

(2)设所求的椭圆的直角坐标方程是

由 ,解得 ,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d

则

其中 ,如果 ,　 则当y=-b时,d²取得最大值

解得b= 与 矛盾,　　　 故必有 　　 当 时d²取得最大值，　 　　　解得b=1,a=2　 所求椭圆方程为

由 可得椭圆上到点P的距离等于 的点为 ,

6.特别注意：椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐　　　　　　　　 　　　　标系有关.因此确定椭圆方程需要三个条件:两个定形条件a,b,一个定位条件焦点坐标或准线方程.

5.思维方式：待定系数法与轨迹方程法。

4.重难点：椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单的几何性质。

1 椭圆的两种定义：

①平面内与两定点F₁，F₂的距离的和等于定长 的点的轨迹，即点集M={P| |PF₁|+|PF₂|=2a，2a＞|F₁F₂|}；( 时为线段 ， 无轨迹)。其中两定点F₁，F₂叫焦点，定点间的距离叫焦距。

②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P| ，0＜e＜1的常数 。( 为抛物线； 为双曲线)

2 标准方程：(1)焦点在x轴上，中心在原点： (a＞b＞0)；

焦点F₁(－c，0)，　 F₂(c，0)。其中 (一个 )

(2)焦点在y轴上，中心在原点： (a＞b＞0)；

焦点F₁(0，－c)，F₂(0，c)。其中

注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0， 并且椭圆的焦点总在长轴上；

②两种标准方程可用一般形式表示：Ax²+By²=1 (A＞0，B＞0，A≠B)，当A＜B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上。

3.性质：对于焦点在x轴上，中心在原点： (a＞b＞0)有以下性质：

坐标系下的性质：

①　　 范围：|x|≤a，|y|≤b；

②　　 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O(0，0)；

③　　 顶点：A₁(-a，0)，A₂(a，0)，B₁(0，-b)，B₂(0，b)，长轴|A₁A₂|=2a，短轴|B₁B₂|=2b；( 半长轴长， 半短轴长)；

④　　 准线方程： ；或

⑤　　 焦半径公式：P(x₀，y₀)为椭圆上任一点。|PF₁|= =a+ex₀，|PF₂|= =a-ex₀；|PF₁|= =a+ey₀，|PF₂|= =a-ey_0;

平面几何性质：

⑥　　 离心率：e= (焦距与长轴长之比) ； 越大越扁， 是圆。

⑦　　 焦准距 ；准线间距

⑧　　 两个最大角

焦点在y轴上，中心在原点： (a＞b＞0)的性质可类似的给出(请课后完成)。

22．(本小题满分12分)运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米路程, 按　　 交通法规限制 (单位: 千米/小时). 假设汽油的价格是每升2元, 而汽车每小时耗油升, 司机的工资是每小时14元.

(1)求这次行车总费用关于的表达式；

(2)当为何值时, 这次行车的总费用最低, 并求出最低费用的值(精确到小数点后　　　 两位，)．

21. (本小题满分13分)已知函数().

　 (1)若函数在处取得极值，且极小值为，求、的值；

　 (2)若，函数图象上的任意一点的切线斜率为，求恒成立时的取值范围.

20．(本小题满分13分)设数列前项和为，且＝1()

(1)求的通项公式；

(2)满足且，求的通项公式。

(2) 设，求数列的前项和

19.(本小题满分12分)已知向量, , .

　 (1)若的夹角；

　 (2)当时，求函数的最大值。