⒖(12分)已知函数在定义域上为增函数，且满足．

　(1)求的值；　　　　　　 (2)解不等式：．

⒗(12分)已知函数在单调递增，

关于的不等式的解集为，

若为真命题，为假命题，求的取值范围．

⒘(14分)设的

图象经过点，如右图所示。

　 ⑴求函数的解析式和极值；

　 ⑵对恒成立，求实数m的取值范围。

⒙(14分)我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的。某市用水收费方法是：水费=基本费+超额费+损耗费。该市规定：

①若每月用水量不超过最低限量立方米时，只付基本费9元和每户每月的定额损耗费元；

②若每月用水量超过立方米时，除了付基本费和损耗费外，超过部分每立方米付

元的超额费；

③每户每月的损耗费不超过5元。

⑴求每户每月水费(元)和用水量(立方米)的函数关系式；

⑵该市一家庭去年第一季度的用水量和支付的费用如下表所示：

　 试分析一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求、、的值。

⒚(14分)已知函数.

⑴当时，求过点且与函数的图象相切的直线的方程；

⑵设,求的最大值的解析式.

⒛(14分)已知函数为奇函数，当时，.

⑴求当时，的表达式；

⑵对于任意，比较与的大小，证明你的结论；

⑶若对任意的及，不等式恒成立，求正整数的最大值。

广东省汕头市金山中学

13.(14分)如图所示，两端开口、内壁光滑、长为H的直玻璃管MN竖直固定在水平面上，a、b两个小球直径相等(均略小于玻璃管的内径，且远小于玻璃管的长度)，质量分别为m₁和m₂，且有m₁＝3m₂.开始时，a球在下，b球在上，两球紧挨着在管中从M处由静止同时释放，a球着地后立即反弹，其速度大小不变，方向竖直向上，紧接着与b球相碰使b球竖直上升.设两球碰撞时间极短，碰撞过程中总动能不变.若在b球开始上升的瞬间，一质量为m₃的橡皮泥c在M处自由落下，且b与c在管中某处相遇后粘在一起运动.

(1)求a、b两球碰撞后瞬间的速度.

(2)要使b、c黏合后能够竖直飞出玻璃管口，则m₂与m₃之比必须满足什么条件？

解析：(1)设管长为H，取向上为正方向，则a、b两球到达玻璃管底端时速度都为：

v₀＝－

a球着地反弹后瞬间的速度为：

v_a＝

a、b两球相碰前后，由动量守恒定律有：

m₁v_a+m₂v₀＝m₁v_a′+m₂v_b

又由总动能守恒，有：

m₁v+m₂v＝m₁v_a′²+m₂v

代入m₁＝3m₂，可解得：v_a′＝0，v_b＝.

(2)设c球在M处下落经过时间t后与b球相碰，则有：

v_bt－gt²+gt²＝H

解得：t＝

故b、c两球碰前瞬间的速度分别为：

v_b′＝－，v_c＝－

对于b、c两球相碰的过程，由动量守恒定律有：

m₂v_b′+m₃v_c＝(m₂+m₃)v_bc

要使b、c两球黏合后能飞出管口，则碰后瞬间的速度必须向上，且v_bc≥

取v_bc＝代入上式可得：

m₂(－)－m₃＝(m₂+m₃)

解得：m₂∶m₃＝1∶3

因此，要使b、c黏合后能够竖直飞出玻璃管口，必须满足条件：>.

答案：(1)　(2)>

12.(13分)如图所示，一辆质量为m＝2 kg的平板车左边放有质量M＝3 kg的滑块，滑块与平板车间的动摩擦因数μ＝0.4，开始时平板车和滑块以v₀＝2 m/s的共同速度在光滑水平面上向右运动，并与竖直墙发生碰撞.设碰撞时间极短，且碰后平板车的速度大小保持不变，但方向与原来相反，平板车足够长，以至滑块不会滑到平板车的右端，取g＝10 m/s².则

(1)平板车第一次与墙发生碰撞后向左运动的最大距离为多少？

(2)平板车第二次与墙碰撞前瞬间的速度v为多大？

(3)为使滑块始终不会滑到平板车的右端，平板车至少多长？

解析：(1)第一次碰撞后，由于时间极短，滑块M的速度不变，大小为v₀＝2 m/s，方向向右；平板车的速度大小为v₀，方向向左.然后两者在摩擦力作用下都做减速运动，平板车向左减速到零时，平板车向左运动的距离为最大.设平板车向左运动的最大距离为s，对平板车由动能定理得：

－μMgs＝0－

代入数据得：s＝0.33 m.

(2)假如平板车在第二次碰撞前还未和滑块相对静止，由运动学知识知，平板车此时的速度大小应为2 m/s，而滑块的速度不小于2 m/s，方向均向右，这样就违背了动量守恒，所以平板车在第二次碰墙前肯定已和滑块具有相同的速度v，由动量守恒得：

Mv₀－mv₀＝(M+m)v

解得：v＝0.4 m/s，此速度为平板车在第二次与墙碰前瞬间的速度.

(3)平板车与墙发生多次碰撞，最后停止在墙边，设滑块相对平板车的总位移为L，则有：

＝μMgL

代入数据解得：L＝ m＝0.83 m

L即为平板车的最短长度.

答案：(1)0.33 m　(2)0.4 m/s　(3)0.83 m

11.(13分)40 kg的女孩骑质量为20 kg的自行车带40 kg的男孩(如图所示)，行驶速度为3 m/s.自行车行驶时，男孩要从车上下来.

(1)他知道如果直接跳下来，他容易摔跤，为什么？

(2)若他下来时用力往前推自行车，这样他下车时水平速度是零.计算男孩下车的瞬间女孩和自行车的速度.

(3)计算自行车和两个孩子组成的整个系统的动能在男孩下车前后的值.如果不同，请解释.

解析：(1)男孩直接跳下后具有3 m/s的水平速度，脚着地后身体由于惯性容易前倾而摔跤.

(2)设女孩质量为m₁，男孩质量为m₂，自行车质量为m_车，由动量守恒定律得：

(m_车+m₁+m₂)v₀＝(m_车+m₁)v₁

解得男孩下车瞬间女孩和自行车的速度v₁＝5 m/s.

(3)E_k＝(m_车+m₁+m₂)v＝450 J

E_k′＝(m_车+m₁)v＝750 J

故知系统动能增加，说明男孩下车时的推力对车及自己总共做的功为：

W＝E_k′－E_k＝300 J.

答案：略

10.将质量M＝3m的木块固定在水平面上，一颗质量为m的子弹以速度v₀沿水平方向射入木块，子弹穿出木块时的速度为；现将同样的木块放在光滑的水平面上，相同的子弹仍以速度v₀沿水平方向射入木块，则子弹(　)

A.不能射穿木块，子弹和木块以相同的速度做匀速运动

B.能射穿木块

C.刚好能射穿木块，子弹射穿木块时速度为零

D.刚好能射穿木块，子弹射穿木块时速度大于

解析：当木块固定时，由动能定理及能量的转化和守恒定律知：

W_f＝Q＝mv－m()²＝mv

假设木块置于光滑水平面时，子弹射穿至木块右端时恰好与木块达到的共同速度，由动量守恒定律得：

mv₀＝(m+M)v₁

解得：v₁＝

则射穿后子弹与木块的总动能以及射穿过程摩擦生热和为：

E′＝·(4m)·()²+mv＝mv＞mv

这违背了能量的转化和守恒定律，故子弹不可能射穿木块.

答案：A

非选择题部分共3小题，共40分.

9.如图所示，质量相同的两小球A、B均用细线吊在天花板上(A、B两球均不触地).现将小球A拉离平衡位置，使其从高h处由静止开始向下摆动，当它摆至最低点时，恰好与小球B正碰，则碰后B球能升起的高度可能为(　)

A.　　B.h　　C.　　D.

解析：当两球发生弹性碰撞时，B球能向左摆至的最大高度h_max＝h

当两球发生完全非弹性碰撞时，B球能向左摆至的高度有最小极值h_min，有：

m＝2mv

v²＝2gh_min

可得：h_min＝

故B球能向左摆的高度h′的范围为：≤h′≤h.

答案：ABC

8. 如图所示，两物体A、B用轻质弹簧相连静止在光滑的水平面上，现同时对A、B两物体施加等大、反向的水平恒力F₁、F₂，使A、B同时由静止开始运动.在运动过程中，对A、B两物体及弹簧组成的系统，下列说法正确的是(整个过程中弹簧不超过其弹性限度)(　)

A.动量始终守恒

B.机械能始终守恒

C.当弹簧伸长到最长时，系统的机械能最大

D.当弹力的大小与F₁、F₂的大小相等时，A、B两物体的速度为零

解析：A、B及弹簧组成的系统所受的合外力为零，则动量始终守恒，选项A正确；F₁、F₂对A、B同时做正功或负功，系统的机械能不守恒，选项B错误；因为F₁、F₂对系统做功之和等于系统机械能的变化，故在弹簧伸长的过程中机械能一直增大，选项C正确；当弹力的大小与F₁、F₂的大小相等时，A、B的速度最大，选项D错误.

答案：AC

7.如图所示，一木板静止在光滑水平面上，其右端有一根轻质弹簧沿水平方向与木板相连，木板的质量M＝3 kg.一质量m＝1 kg的铁块以水平速度v₀＝4 m/s从木板的左端沿板面向右滑行，压缩弹簧后又被弹回，最后恰好停在木板的左端.在上述过程中，弹簧具有的最大弹性势能为(　)

A.3 J　　B.6 J　　C.20 J　　D.4 J

解析：由动量守恒定律有：mv₀＝(m+M)v_t

由题意知，系统由于摩擦生热而损失的动能为：

ΔE_k＝mv－(m+M)v＝6 J

故知弹簧压缩最大时摩擦生热损失的动能为：

ΔE_k＝3 J

此时弹簧的弹性势能最大为：

　E_p＝mv－ΔE_k－(m+M)v＝3 J.

答案：A

6.如图所示，船的质量为M，船上站一质量为m的运动员，运动员要从这静止的船上水平跃出，到达与船水平距离为s、比甲板低h的岸上，至少要做功W，不计水的阻力，则下列说法正确的是(　)

A.如s、h一定，M越大，W越大

B.如s、m和h一定，M越大，W越小

C.如s、M和h一定，W与m成正比

D.如s、m和M一定，h越大，W越小

解析：设运动员要跳上岸所需的最小初速度为v₁，此时船的反冲速度为v₂，由动量守恒定律有：

Mv₂＝mv₁＝p₀

其中v₁＝s

可得：v₂＝

由能量的转化和守恒定律知，运动员做的功为：

W＝Mv+mv＝(+).

答案：BD