21、(本小题满分14分)

已知函数f(x)=，g(x)=alnx，aR。

(1)　　　 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；

(2)　　　 设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值(a)的解析式；

(3)　　　 对(2)中的(a)，证明：当a(0，+)时， (a)1.

解 (1)f’(x)=,g’(x)=(x>0),

由已知得　 =alnx，

=，　　 解德a=,x=e²,

两条曲线交点的坐标为(e²,e)　 切线的斜率为k=f’(e^{2)= ,}

切线的方程为y-e=(x- e₂).

(2)由条件知

Ⅰ 当a.>0时，令h (x)=0,解得x=,

所以当0 < x< 时 h (x)<0，h(x)在(0，)上递减；

当x>时，h (x)>0，h(x)在(0，)上递增。

所以x>是h(x)在(0， +∞ )上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。

所以Φ　(a)=h()= 2a-aln=2

Ⅱ当a　≤　　0时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在(0，+∞)递增，无最小值。

故 h(x) 的最小值Φ　(a)的解析式为2a(1-ln2a) (a>o)

(3)由(2)知Φ　(a)=2a(1-ln2a)

则 Φ　¹(a )=-2ln2a，令Φ　¹(a )=0 解得 a =1/2

当　 0<a<1/2时，Φ　¹(a )>0，所以Φ　(a )　 在(0,1/2) 上递增

当　 a>1/2　 时， Φ　¹(a )<0，所以Φ(a ) 在 (1/2, +∞)上递减。

所以Φ(a )在(0, +∞)处取得极大值Φ(1/2 )=1

因为Φ(a )在(0, +∞)上有且只有一个极致点，所以Φ(1/2)=1也是Φ(a)的最大值

所当a属于 (0, +∞)时，总有Φ(a)　≤　1

20.(本小题满分13分)

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

　(Ⅱ)设n 为过原点的直线，l是与n垂直相交与点P，与椭圆相交于A,B两点的直线　 立？若存在，求出直线l的方程；并说出；若不存在，请说明理由。

17.(本小题满分12分)

　　　 在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，

　　　 AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.

　　　 解　　 在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,

　　　 由余弦定理得cos=,

　　　 ADC=120°, ADB=60°

　　　 在△ABD中，AD=10, B=45°, ADB=60°，

　　　 由正弦定理得,

　　　 AB=.

　　　 18.(本小题满分12分)

　　　 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.

　　　 (Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；

　　　 (Ⅱ)求三棱锥E-ABC的体积V.

　　　 解　　 (Ⅰ)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.

　　　 又BC∥AD,∴EF∥AD,

　　　 又∵AD平面PAD,EF平面PAD,

　　　 ∴EF∥平面PAD.

　　　 (Ⅱ)连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G,

　　　 则BG⊥平面ABCD,且EG=PA.

　　　 在△PAB中，AD=AB,PAB°,BP=2,∴AP=AB=,EG=.

　　　 ∴S_△ABC=AB·BC=××2=,

　　　 ∴V_E-ABC=S_△ABC·EG=××=.

19 (本小题满分12分)

为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计图如下：

()估计该校男生的人数；

()估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；

()从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185~190cm之间的概率。

解 ()样本中男生人数为40 ，由分层出样比例为10%估计全校男生人数为400。

()有统计图知，样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在170~185cm之间的频率故有f估计该校学生身高在170~180cm之间的概率

()样本中身高在180~185cm之间的男生有4人，设其编号为

　　　 样本中身高在185~190cm之间的男生有2人，设其编号为

从上述6人中任取2人的树状图为：

故从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1人身高在185~190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率

16.(本小题满分12分)

　　　 已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁＝1，且a₁，a₃，a₉成等比数列.

　　　 (Ⅰ)求数列{a_n}的通项;　　　　　 (Ⅱ)求数列{2^an}的前n项和S_n.

　　　 解　 (Ⅰ)由题设知公差d≠0，

　　　 由a₁＝1，a₁，a₃，a₉成等比数列得＝，

　　　 解得d＝1，d＝0(舍去)，　　 故{a_n}的通项a_n＝1+(n－1)×1＝n.

　　　 (Ⅱ)由(Ⅰ)知=2ⁿ，由等比数列前n项和公式得

　　　 S_m=2+2²+2³+…+2ⁿ==2ⁿ⁺¹-2.

15.(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)

　　　 A.(不等式选做题)不等式<3的解集为.

　　　 B.(几何证明选做题)如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝cm.

C.(坐标系与参数方程选做题)参数方程(为参数)化成普通方程为

x²+(y－1)²＝1.

14.设x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x－y的最大值为 　5　 　.

13.已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝ 　2 　.

12.已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)若(a+b)∥c，则

m＝ 　－1　 　.

11.观察下列等式：1³+2³＝(1+2)²，1³+2³+3³＝(1+2+3)²，1³+2³+3³+4³＝

(1+2+3+4)²，…，根据上述规律，第四个等式为1³+2³+3³+4³+5³＝(1+2+3+4+5)²(或15²).

10.某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为　 　　　　　　　　　　　　　　 [B]

　　　 (A)y＝[]　　　　　　 (B)y＝[]　　　　 (C)y＝[]　　　　 (D)y＝[]