23．如图，在某城市中，两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网处的甲、乙两人分别要到处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达为止.

(1)求甲经过到达N的方法有多少种；

(2)求甲、乙两人在处相遇的概率；

(3)求甲、乙两人相遇的概率.

解：(1)甲经过，可分为两步：

第一步，甲从经过的方法数为种；

第二步，甲从到的方法数为种；

所以甲经过到达的方法数为种.………………………………2分

(2)由(1)知，甲经过的方法数为；乙经过的方法数也为.

所以甲、乙两人在处相遇的方法数为＝81；

　甲、乙两人在处相遇的概率为.………………………6分

(3)甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，他们在相遇的走法有种方法；

所以：＝164

故甲、乙两人相遇的概率.

答：(1)甲经过到达的方法数为种；

(2)甲、乙两人在处相遇的概率为；

(3)甲、乙两人相遇的概率. ………………………10分

22．如图，在正方体中，是棱的中点，在棱上.

且，若二面角的余弦值为，求实数的值.

解：以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为4，则各点的坐标分别为，，，；，，，，，.………2分

设平面法向量为，而，，

所以，可得一个法向量=，………6分

设面的一个法向量为，

则，　　　 …………………………8分

即：，又因为点在棱上，所以.……………………………10分

20．解：(1)因为，所以，令

得：，此时，　　　　　　　　　　…………2分

则点到直线的距离为，

即，解之得．　　　　　　…………4分

(2)解法一：不等式的解集中的整数恰有3个，

等价于恰有三个整数解，故，　　　…………6分

令，由且，

所以函数的一个零点在区间，

则另一个零点一定在区间，　　　　　　　　　…………8分

故解之得．　　　　　　　　　…………10分

解法二：恰有三个整数解，故，即，…………6分

，

所以，又因为，　　　　　　…………8分

所以，解之得．　　　　　　…………10分

(3)设，则．

所以当时，；当时，．

因此时，取得最小值，

则与的图象在处有公共点．　　　　…………12分

设与存在 “分界线”，方程为，

即，

由在恒成立，则在恒成立 ．

所以成立，

因此．　　　　　　　　　　　　　…………14分

下面证明恒成立．

　设，则．

　所以当时，；当时，．

因此时取得最大值，则成立．

故所求“分界线”方程为：．　　　　　　…………16分

附加题部分

A．选修4－1(几何证明选讲)

如图，是边长为的正方形，以为圆心，为半径的圆弧与以为直径的交于点，延长交于．(1)求证：是的中点；(2)求线段的长．

(1)证明：利用，可证：

(2)由△FEB∽△BEC，得,∴．

B．选修4－2(矩阵与变换)

已知矩阵，若矩阵属于特征值3的一个特征向量为，属于特征值－1的一个特征向量为，求矩阵．

解：由矩阵属于特征值3的一个特征向量为可得＝3，

即；　　　　　　 …………………………………4分

由矩阵属于特征值2的一个特征向量为，可得＝(－1)，

即　　　　　　　 …………………………………………6分

解得　　即矩阵　　　　　　　　　　　 ………………10分

C．选修4－4(坐标系与参数方程)

在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(为参数)，求直线被曲线所截得的弦长.

解：将方程，分别化为普通方程：

，　………(6分)

由曲线的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，

故所求弦长为………(10分)

　D．选修4-5(不等式选讲)

已知实数满足，求的最小值；

解：由柯西不等式可知：

…………………………………………5分

故，当且仅当，即：

取得最小值为…………………………………………10分

20．设函数()，．

(1) 若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；

(2) 关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；

(3) 对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

19.(1)由题意得：， …………………………4分

即又所以　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

即最多调整500名员工从事第三产业．…………………………………………6分

(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则，

…………………………………………10分

所以，　所以，　　

即恒成立，　　　…………………………………………12分

因为，

当且仅当，即时等号成立．

所以，　　又，　　所以，

即的取值范围为．　　　　　…………………………………………16分

19．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元。为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高.

(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？

(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？