19．(本小题满分12分)如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，，点在底面上的射影恰好是的中点，且．

(Ⅰ)求证：平面平面；

(Ⅱ)求证：；

(Ⅲ)求二面角的大小.

解：(Ⅰ)证明：设的中点为.

在斜三棱柱中，点在底面上的射影恰好是的中点,

　　 平面ABC.　　　　 ……………………1分

平面，

.　　　　　　　 ……………………2分

，

∴.

，

∴平面.　　　 ……………………4分

平面，

　　 平面平面.　　　　　　　　　　　　　 ………………………………………5分

解法一：(Ⅱ)连接，平面，

是直线在平面上的射影.　　　　　 ………………………………………5分

，

四边形是菱形.

.　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………………………………7分

.　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………………………………9分

(Ⅲ)过点作交于点，连接.

，

平面.

.

是二面角的平面角. ……………11分

设，则，

.

.

.

.

平面，平面，

.

.

在中，可求.

∵，∴.

∴.

.　　　　　　　　　 ………………………………………13分

.

∴二面角的大小为.　　　　　　 ………………………………………14分

解法二：(Ⅱ)因为点在底面上的射影是的中点，设的中点为，则平面ABC.以为原点，过平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设，由题意可知，.

设，由，得

………………………………………7分

.

　 又.

.

.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　………………………………………9分

(Ⅲ)设平面的法向量为.

则

∴

.

设平面的法向量为.则

∴

.　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………………………………12分

.　　　　　　　　　　　　 ………………………………………13分

二面角的大小为.　　　　　 ………………………………………14分

18．(本小题满分12分)在今年甲感流行期间，某市检测部门决定对全市学校教室的空气质量进行检测。空气质量分为A、B、C三级. 每间教室的检测方式如下：分别在同一天的上、下午各进行一次检测，若两次检测中有C级或两次都是B级，则该教室的空气质量不合格. 设各教室的空气质量相互独立，且每次检测的结果也相互独立. 根据多次抽检结果，一间教室一次检测空气质量为A、B、C三级的频率依次为.　

(Ⅰ)在该市的教室中任取一间，估计该间教室的空气质量合格的概率；

(Ⅱ)如果对该市某中学高三年级的4间教室进行检测，记检测空气质量合格的教室间数为，根据(Ⅰ)中的计算结果，求的分布列及期望.

解：(Ⅰ)该间教室两次检测中，空气质量均为A级的概率为.………………………………2分

该间教室两次检测中，空气质量一次为A级，另一次为B级的概率为.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………………………4分

设“该间教室的空气质量合格”为事件E.则　　　　　　　　　　 …………………………………5分

.　　　　　　　　　　　　　　　 …………………………………6分

答：估计该间教室的空气质量合格的概率为.

(Ⅱ)由题意可知，的取值为0，1，2，3，4.　　　　　　　　 …………………………………7分

.

随机变量的分布列为：

	0	1	2	3	4

　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………………………………11分

解法一：

∴.　　 …………………………………12分

解法二：，

∴.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………12分

17．(本小题满分12分)如图，游乐场中的摩天轮做匀速转动，每6min转一圈，其中心点O距地面的高度为50m，半径为40m。若你从最低点处登上摩天轮, 且以你登上摩天轮时开始计时。当你登上摩天轮2min时，你的朋友也在摩天轮最低点处登上摩天轮。

(Ⅰ)求出你与地面的距离y(m)与时间t(min)的函数解析式；

(Ⅱ)当你距地面30m时，用了多少时间？

(Ⅲ)你的朋友登上摩天轮多长时间后，你们俩与地面距离相等？

解：(Ⅰ)设经过时间t，你在摩天轮上所经过的弧对应的圆心角为，则，　　 ……4分

(Ⅱ)由，得。

，，　　　 ……6分

，。

所以当你距地面30m时，用了1min或5min。……8分

(Ⅲ)设你登上摩天轮tmin后，你的朋友与地面的距离为，

则，　　 ……10分

由，得，，

，，。……11分

所以你的朋友登上摩天轮2min后，你们俩与地面距离相等.　　 ……12分

16.下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为，如图3.图3中直线与x轴交于点，则m的象就是n，记作.

下列说法中正确命题的序号是　　　　　 .(填出所有正确命题的序号)

①； ②是奇函数；　 ③在定义域上单调递增； ④的图象关于点 对称．

答案：①③④。

15.某校为了配合全市创建“低碳示范城”的活动之一，决定将学校景观道上的一排12个路灯，每晚只开其中的4个。要求这4盏灯中，相邻的至少相隔两个不开的路灯，则不同的亮灯方法共有　　　______种(用数字作答).

答案：15。

14．若x，y是正数，则+的最小值是 _________　　

答案：4。+，当且仅当时取等号。

13. 在约束条件：下，目标函数的最大值是　　　　　　 　。

答案：8。在约束条件下，求得。

12. 已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

，，则点P的轨迹一定通

过的(　　　 )

A.重心　　　　　　 B.垂心　　　　　 C.内心　　　　　 D.外心

答案：A。已知条件等价于，，显然P的轨迹一定通过的重心。　　　　　

11．如图，将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则表上数字标签：

原点处标0，点(1，0)处标1，点(1，-1)处标2，点(0，-1)处标3，

点(-1，-1)处标4，点(-1，0)标5，点(-1，1)处标6，点(0，1)

处标7，以此类推，则标签的格点的坐标为(　　 )

A．(1005,1004)　　 B．(1004.1003)　 C．(2009,2008)　　 D．(2008,2007)

答案：A。由图像可得标签的格点的坐标为，

∵2009是第1005个奇数，∴标签的格点的坐标为(1005,1004) 。

10．设是展开式的中间项，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是(　 　)

A．　　 　　　 B．　　　　　 C． 　　　　　　D．

答案：D。∵，∴在区间上恒成立，即在区间上恒成立，∴.