19、解：（Ⅰ）∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，∴ CC₁⊥平面ABC，∵ AD⊥C₁D，
∴ AD⊥BC，   ∴ D是BC的中点.                             ……3分
连结AC₁与A₁C相交于E点，在△A₁BC中，∵D、E是中点，
∴A₁B∥DE，又DE在平面AC₁D内，∴A₁B∥平面AC₁D.            ……6分

即                                           12分

∴所求概率                                   6分

 （12分）

 （10分）

即 （9分）

（2）由余弦定理，得

  （6分）

，