先观察下列计算

1

2 +1

=

2

-1，

1

3 + 2

=

3

-

2

，

1

4 + 3

=

4

-

3

，

1

5 + 4

=

5

-

4

，…
从计算结果中寻找规律，并据此规律计算：(

1

2 +1

=

1

3 + 2

+

1

4 + 3

+…+

1

2010 + 2009

+

1

2011 + 2010

)(

2011

+1)．

应用规律，解决问题
（1）．定义：a为不等于1的有理数，我们把

1

1-a

称为a的差倒数，如：2的差倒数是

1

1-2

=

1

-1

=-1，-1的差倒数是

1

1-(-1)

=

1

2

，已知a1=-

1

3

，
①a₂是a₁的差倒数，则a₂=．
②a₃是a₂的差倒数，则a₃=．
③a₄是a₃的差倒数，则a₄=．
④以此类推，a₂₀₁₁=．
（2）．我们知道：

1

2

×

2

3

=

1

3

，

1

2

×

2

3

×

3

4

=

1

4

，…，

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

n

n+1

=

1

n+1

，试根据上面规律，
计算：(

1

19

-1)(

1

20

-1)(

1

21

-1)…(

1

2011

-1)．

观察下列等式：

1

2 +1

=

1×( 2 -1)

( 2 +1)( 2 -1)

=

2 -1

2-1

=

2

-1，

1

3 + 2

=

1×( 3 - 2 )

( 3 + 2 )( 3 - 2 )

=

3 - 2

3-2

=

3

-

2

，
同理可得：

1

4 + 3

=

4

-

3

，…
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
（

1

2 +1

+

1

3 + 2

+

1

4 + 3

+…

1

2002 + 2001

）（

2002

+1）的值．