在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．

(1)若α＝60°且点P与点M重合(如下图1)，线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；

(2)在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明；

(3)对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B，M重合)时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝QD，请直接写出α的范围．

数学探究课上李老师出了这样一道题：“如图，正三角形ABC中有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，试求∠APB的度数．”小明和小军一起讨论时发现了一种求∠APB度数的方法，下面是这种方法的一部分思路．请按照下列思路要求画图或判断．

(1)在图中画出△APC绕A点顺时针旋转60°后的图形△AP₁B；

(2)试判断△AP₁P的形状，并说明理由；

(3)试判断△BP₁P的形状，并说明理由；

(4)由2，3两问可知：∠APB＝________．

李老师看过后，夸奖了他们，同时提示他们试试以B点或C点为旋转中点，对某个三角形进行适当地旋转，看一看是否可以求出∠APB度数．你认为可以吗？如果可以，给出一种具体的旋转方法；如果不可以，请说明理由．

在课外小组活动时，小伟拿来一道题(原问题)和小熊、小强交流．

原问题：如图1，已知△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，连接DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系．

小伟同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问

题得解．

小熊同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°．

小强同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．

请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：

(1)写出原问题中DF与EF的数量关系；

(2)如图2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，原问题中的其他条件不变，你在(1)中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；

(3)如图3，若∠ADB＝∠BEC＝2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在(1)中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．

某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图(1)所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，如图(2)，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．

(1)求证：AM＝AN；

(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPE是什么样的特殊四边形？并说明理由．