问题：如图（1），一圆柱的底面半径为5分米，高AB为5分米，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线：
路线1：侧面展开图中的线段AC．如图（2）所示：设路线1的长度为l₁，则l₁²=AC²=AB²+BC²=5²+（5π）²=25+25π²
路线2：高线AB+底面直径BC．如图（1）所示：设路线2的长度为l₂，则l₂²=（AB+BC）²=（5+10）²=225，∵l₁²-l₂²＞0，
∴l₁²＞l₂²，∴l₁＞l₂，所以要选择路线2较短．

（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1分米，高AB为5分米”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算：
路线1：l₁²=AC²=；
路线2：l₂²=（AB+BC）²=．∴l₁l₂ （ 填＞或＜），所以应选择路线（填1或2）较短．
（2）请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短．

圆柱的底面半径为10cm，当圆柱的高变化时圆柱的体积也随之变化，
（1）在这个变化过程中自变量是什么？因变量是什么？
（2）设圆柱的体积为V，圆柱的高为h，则V与h的关系是什么？
（3）当h每增加2，V如何变化？

（2010•邢台一模）如图所示，一圆柱高AB为5cm，BC是底面直径，设底面半径长度为acm，求点P从A点出发沿圆柱表面移动到点C的最短路线．

方案设计
某班数学兴趣小组设计了两种方案：
图1是方案一的示意图，该方案中的移动路线的长度为l₁，则l₁=5+2a（cm）；
图2是方案二的示意图，设l₂是把圆柱沿AB侧面展开的线段AC的长度，则l₂=cm（保留π）．
计算探究

①当a=3时，比较大小：l₁ l₂（填“＞”“=”或“＜”）；
②当a=4时，比较大小：l₁ l₂（填“＞”“=”或“＜”）；
延伸拓展
在一般情况下，设圆柱的底面半径为rcm．高为hcm．
①若l₁²=l₂²，求h与r之间的关系；
②假定r取定值，那么h取何值时，l₁＜l₂？
③假定r取定值，那么h取何值时，l₁＞l₂？

（2013•贵阳模拟）请阅读下列材料：
问题：如图1，圆柱的底面半径为1dm，BC是底面直径，圆柱高AB为5dm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：
路线1：高线AB+底面直径BC，如图1所示．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图2所示．（结果保留π）

（1）设路线1的长度为L₁，则L12=．设路线2的长度为L₂，则L22=．所以选择路线（填1或2）较短．
（2）小明把条件改成：“圆柱的底面半径为5dm，高AB为1dm”继续按前面的路线进行计算．此时，路线1：L12=．路线2：L22=．所以选择路线（填1或2）较短．
（3）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2dm，高为hdm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短．