如图1，Rt△ABC中，∠A＝90°，，点P在线段AB上运动，点Q、R分别在线段BC、AC上，且使得四边形APQR是矩形．设AP的长为x，矩形APQR的面积为y，已知y是x的函数，其图象是过点(12，36)的抛物线的一部分(如图2所示)．

(1)求AB的长；

(2)当AP为何值时，矩形APQR的面积最大，并求出最大值．

为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：

张明：图2中的抛物线过点(12，36)在图1中表示什么呢？

李明：因为抛物线上的点(x，y)是表示图1中AP的长与矩形APQR面积的对应关系，那么，(12，36)表示当AP＝12时，AP的长与矩形APQR面积的对应关系．

赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！

孔明：哦，这样就可以算出AB，这个问题就可以解决了．

请根据上述对话，帮他们解答这个问题．

如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒(t＞0)，抛物线y＝x²＋bx＋c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为A(1，0)，B(1，－5)，D(4，0)．

(1)求c，b(用含t的代数式表示)：

(2)当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．

①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；

②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，S＝；

(3)在矩形ABCD的内部(不含边界)，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒(t＞0)，抛物线y＝x²＋bx＋c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为A(1，0)，B(1，－5)，D(4，0)．

(1)求c，b(用含t的代数式表示)：

(2)当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．

①在点P的运动过程中，你认为cos∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出cos∠AMP的值；

②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，；

(3)在矩形ABCD的内部(不含边界)，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围是________．