（本小题满分13分）如图，三棱柱ABC—A₁B₁C₁的所有棱长都是2，又平面

ABC，D、E分别是AC、CC₁的中点。

（1）求证：平面A₁BD；

（2）求二面角D—BA₁—A的余弦值；

（3）求点B₁到平面A₁BD的距离。

如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD=CD=2.

（I）求证：PD⊥BC；

（II）求二面角B—PD—C的正切值。

【解析】第一问利用∵平面PCD⊥平面ABCD，又∵平面PCD∩平面ABCD=CD，

BC在平面ABCD内 ，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD.

∴PD⊥BC.

第二问中解：取PD的中点E，连接CE、BE，

为正三角形，

由（I）知BC⊥平面PCD，∴CE是BE在平面PCD内的射影，

∴BE⊥PD.∴∠CEB为二面角B—PD—C的平面角，进而求解。

如图所示，已知直线与不共面，直线，直线，又平面，平面，平面，求证：三点不共线．

（本小题满分12分）如图，在矩形中，，又⊥平面，．
（Ⅰ）若在边上存在一点，使，
求的取值范围；
（Ⅱ）当边上存在唯一点，使时，
求二面角的余弦值．

如图所示的长方体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，，是线段的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求二面角的大小．

【解析】本试题主要考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理，以及二面角的求解的运用。中利用，又平面，平面，∴平面由，，又，∴平面． 可得证明

（3）因为∴为面的法向量．∵，，

∴为平面的法向量．∴利用法向量的夹角公式，，

∴与的夹角为，即二面角的大小为．

方法一：解:（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接，则点、，

∴，又点，，∴

∴，且与不共线，∴．

又平面，平面，∴平面．…………………4分

（Ⅱ）∵，

∴，，即，，

又，∴平面．   ………8分

（Ⅲ）∵，，∴平面，

∴为面的法向量．∵，，

∴为平面的法向量．∴，

∴与的夹角为，即二面角的大小为