已知数列满足（I）求数列的通项公式；

（II）若数列中，前项和为，且证明：

【解析】第一问中，利用，

∴数列{}是以首项a₁+1，公比为2的等比数列，即 

第二问中， 

进一步得到得    即

即是等差数列.

然后结合公式求解。

解：（I）  解法二、，

∴数列{}是以首项a₁+1，公比为2的等比数列，即 

（II）     ………②

由②可得： …………③

③－②，得    即 …………④

又由④可得 …………⑤

⑤－④得

即是等差数列.

已知曲线的参数方程是（是参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线:的极坐标方程是=2，正方形ABCD的顶点都在上，且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）.

(Ⅰ)求点A,B,C,D的直角坐标；

 (Ⅱ)设P为上任意一点，求的取值范围.

【命题意图】本题考查了参数方程与极坐标，是容易题型.

【解析】(Ⅰ)由已知可得，，

，，

即A(1，)，B（－，1），C（―1，―），D（，－1），

(Ⅱ)设，令=，

则==，

∵，∴的取值范围是[32,52]

设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝1，b＝2，cosC＝. (1)求△ABC的周长；       (2)求cos(A－C)的值．

【解析】（1）借助余弦定理求出边c，直接求周长即可.（2）根据两角差的余弦公式需要求sinC,sinA,cosA,由正弦定理即可求出sinA,进而可求出cosA.sinC可由cosA求出，问题得解.

设不等边三角形ABC的外心与重心分别为M、G，若A（－1，0），B（1，0）且MG//AB.

（Ⅰ）求三角形ABC顶点C的轨迹方程；

（Ⅱ）设顶点C的轨迹为D，已知直线过点（0，1）并且与曲线D交于P、N两点，若O为坐标原点，满足OP⊥ON，求直线的方程.

【解析】

第一问因为设C（x,y）（）

……3分

∵M是不等边三解形ABC的外心，∴|MA|=|MC|，即（2）

由（1）（2）得.所以三角形顶点C的轨迹方程为，.…6分

第二问直线l的方程为y=kx+1

由消y得。 ∵直线l与曲线D交于P、N两点，∴△=，

又，

∵，∴

得到直线方程。

已知函数，，k为非零实数.

（Ⅰ）设t=k²,若函数f(x),g(x)在区间(0,+∞)上单调性相同，求k的取值范围;

（Ⅱ）是否存在正实数k，都能找到t∈[1,2],使得关于x的方程f(x)=g(x)在[1,5]上有且仅有一个实数根，且在[－5,－1]上至多有一个实数根.若存在，请求出所有k的值的集合；若不存在，请说明理由.

【解析】本试题考查了运用导数来研究函数的单调性，并求解参数的取值范围。与此同时还能对于方程解的问题，转化为图像与图像的交点问题来长处理的数学思想的运用。