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一、选择题（每小题5分，共60分）
1．A 2．C 3．C 4．D 5．B 6．A 7．D 8．D 9．C 10．B 11．B 12．D
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．
14．3825 15．1 16．0ⅠⅡ
三、解答题
17．解：（Ⅰ）在
中，由
及余弦定理得
而
，则
；
（Ⅱ）由
及正弦定理得
，
而
，则
于是
，
由
得
，当
即
时，
。
18解：（Ⅰ）基本事件
共有36个，方程有正根等价于
，即
。设“方程有两个正根”为事件
，则事件包含的基本事件为
共4个，故所求的概率为
；
（Ⅱ）试验的全部结果构成区域
，其面积为
设“方程无实根”为事件
，则构成事件的区域为
，其面积为
故所求的概率为
19．解：（Ⅰ）证明：由
平面
及
得
平面，则
而
平面
，则
，又
，则
平面
，
又
平面，故
。
（Ⅱ）在
中，过点
作
于点
，则
平面
．
由已知及（Ⅰ）得
．
故
(Ⅲ)在中过点
作
交
于点
，在
中过点作
交
于点
，连接
，则由
得
由平面
平面
，则
平面
再由
得
平面，又
平面
，则
平面．
故当点为线段
上靠近点
的一个三等分点时，平面．
20．解：（Ⅰ）设等差数列
的公差为
，
则
，
（Ⅱ）由
得
，故数列
适合条件①
而
，则当
或
时，
有最大值20
即
，故数列适合条件②．
综上，故数列是“特界”数列。
21．
证明：
消去
得
设点
，则
，
由
，
，即
化简得
，则
即
，故
（Ⅱ）解：由
化简得
由
得
，即
故椭圆的长轴长的取值范围是
。
22．解：（Ⅰ）
，由
在区间
上是增函数
则当
时，恒有
，
即
在区间上恒成立。
由
且
，解得
．
（Ⅱ）依题意得
则
，解得
而
故在区间
上的最大值是
。
（Ⅲ）若函数
的图象与函数的图象恰有3个不同的交点，
即方程
恰有3个不等的实数根。
而
是方程的一个实数根，则
方程
有两个非零实数根，
则
即
且
．
故满足条件的
存在，其取值范围是
．
已知点
为圆
上的动点，且不在
轴上，
轴，垂足为
，线段
中点
的轨迹为曲线
，过定点
任作一条与
轴不垂直的直线
，它与曲线交于
、
两点。
（I）求曲线的方程；
（II）试证明：在轴上存在定点
，使得
总能被轴平分
【解析】第一问中设
为曲线上的任意一点，则点
在圆
上，
∴
，曲线的方程为
第二问中，设点的坐标为
，直线的方程为
， ………………3分
代入曲线的方程
，可得 
∵
，∴
确定结论直线与曲线总有两个公共点．
然后设点,的坐标分别
, 
，则
，
要使被轴平分，只要
得到。
（1）设为曲线上的任意一点，则点在圆上，
∴，曲线的方程为． ………………2分
（2）设点的坐标为，直线的方程为， ………………3分
代入曲线的方程，可得 ，……5分
∵，∴
，
∴直线与曲线总有两个公共点．（也可根据点M在椭圆的内部得到此结论）
………………6分
设点,的坐标分别, ，则，
要使被轴平分，只要，
………………9分
即
，
， ………………10分
也就是
，
，
即
，即只要
………………12分
当
时，（＊）对任意的s都成立，从而总能被轴平分．
所以在x轴上存在定点
，使得
总能被
轴平分
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中，
．
；
为侧棱
的中点，求异面直线
与
的大小．
为底面正方形
中心，则
为该正四棱锥的高由已知，可求得
，
为
中点，连结
、
，
，
，
，
中，由余弦定理，得
．
，则cos2α=
（B）
(C) 
(D)
，所以
，因为已知α为第二象限角，所以
，
，所以
=
，选A.
的共轭复数是 
，所以其共轭复数为
，选D.
的反函数为
（B）
（D）
所以
.由
得，
，所以
，所以反函数为