如图，，，…，，…是曲线上的点，，，…，，…是轴正半轴上的点，且，，…，，… 均为斜边在轴上的等腰直角三角形（为坐标原点）．

（1）写出、和之间的等量关系，以及、和之间的等量关系；

（2）求证：（）；

（3）设，对所有，恒成立，求实数的取值范围．

【解析】第一问利用有，得到

第二问证明：①当时，可求得，命题成立；②假设当时，命题成立，即有则当时，由归纳假设及，

得

第三问 

．………………………2分

因为函数在区间上单调递增，所以当时，最大为，即

解：（1）依题意，有，，………………4分

（2）证明：①当时，可求得，命题成立； ……………2分

②假设当时，命题成立，即有，……………………1分

则当时，由归纳假设及，

得．

即

解得（不合题意，舍去）

即当时，命题成立．  …………………………………………4分

综上所述，对所有，．    ……………………………1分

（3） 

．………………………2分

因为函数在区间上单调递增，所以当时，最大为，即

．……………2分

由题意，有． 所以，

过抛物线的对称轴上的定点，作直线与抛物线相交于两点．

（I）试证明两点的纵坐标之积为定值；

（II）若点是定直线上的任一点，试探索三条直线的斜率之间的关系，并给出证明.

【解析】本题主要考查抛物线与直线的位置关系以及发现问题和解决问题的能力．

（1）中证明：设下证之：设直线AB的方程为: x=ty+m与y²=2px联立得消去x得y²=2pty-2pm=0，由韦达定理得 

 (2)中：因为三条直线AN,MN,BN的斜率成等差数列，下证之

设点N（-m,n），则直线AN的斜率K_AN=，直线BN的斜率K_BN=

K_AN+K_BN=+

本题主要考查抛物线与直线的位置关系以及发现问题和解决问题的能力．

（本小题满分12分）

已知函数f（x）是定义在[-e,0）∪（0,e]上的奇函数，当x∈（0,e],f（x）=ax+lnx（其中e是自然对数的底数，a∈R）

   （1）求f（x）的解析式；

   （2）设g（x）=,x∈[-e,0）,求证：当a=-1时，f（x）>g（x）+;

   （3）是否存在实数a，使得当x∈[-e,0）时f（x）的最小值是3 如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由．

设数列的各项均为正数.若对任意的，存在，使得成立，则称数列为“J_k型”数列．

（1）若数列是“J₂型”数列，且，，求；

（2）若数列既是“J₃型”数列，又是“J₄型”数列，证明：数列是等比数列.

【解析】1）中由题意，得，，，，…成等比数列，且公比，

所以．

（2）中证明：由{}是“j₄型”数列，得，…成等比数列，设公比为t. 由{}是“j₃型”数列，得

，…成等比数列，设公比为；

，…成等比数列，设公比为；

…成等比数列，设公比为；