摘要：14．已知数列{an}中.a1＝t(t∈R.且t≠0,1).a2＝t2.且当x＝t时.函数f(x)＝(an-an-1)x2-(an+1-an)x(n≥2.n∈N*)取得极值． (1)求证:数列{an+1-an}是等比数列, (2)若bn＝anln|an|(n∈N*).求数列{bn}的前n项和Sn, (3)当t＝-时.数列{bn}中是否存在最大项?如果存在.说明是第几项,如果不存在.请说明理由． 解:(1)证明:由f′(t)＝0.得(an-an-1)t＝an+1-an(n≥2). 又a2-a1＝t(t-1).t≠0且t≠1. ∴a2-a1≠0. ∴＝t. ∴数列{an+1-an}是首项为t2-t.公比为t的等比数列． 知an+1-an＝tn+1-tn. ∴an-an-1＝tn-tn-1. ∴an-1-an-2＝tn-1-tn-2. -.- a2-a1＝t2-t. 上面n-1个等式相等并整理得an＝tn. (t≠0且t≠1) bn＝anln|an|＝tn·ln|tn|＝ntn·ln|t|. ∴Sn＝(t+2·t2+3·t3+-+n·tn)ln|t|. tSn＝[t2+2·t3+-+(n-1)tn+n·tn+1]ln|t|. 两式相减.并整理得 Sn＝[-]ln|t|. (3)∵t＝-.即-1<t<0. ∴当n为偶数时.bn＝ntnln|t|<0, 当n为奇数时.bn＝ntnln|t|>0.∴最大项必须为奇数项． 设最大项为b2k+1.则有 即 整理得 将t2＝代入上式.解得≤k≤. ∵k∈N*. ∴k＝2.即数列{bn}中的最大项是第5项．

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