Question

（本小题满分14分）

设直线. 若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x∈R，都有. 则称直线l为曲线S的“上夹线”．

（Ⅰ）已知函数．求证：为曲线的“上夹线”．

（Ⅱ）观察下图：

根据上图，试推测曲线的“上夹线”的方程，并给出证明．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）由得， ……………………………1分

当时，，

此时，， ………………2分

，所以是直线与曲线的一个切点； …………………3分

当时，，此时，，…4分

，所以是直线与曲线的一个切点； ……………5分

所以直线l与曲线S相切且至少有两个切点；

对任意x∈R，，

所以， ……………………………………………………………………6分

因此直线是曲线的“上夹线”．……………………7分

（Ⅱ）推测：的“上夹线”的方程为，……………9分

①先检验直线与曲线相切，且至少有两个切点：

设：，

令，得：（k∈Z），…………………………10分

当时，，

故过曲线上的点(，m()+n)的切线方程为：

y-[ m()+n]=m[x-()]化简得：．

即直线与曲线相切且有无数个切点．…………………12分

不妨设，②下面检验g(x) ≥ F(x)，g(x)－F(x)=，

直线是曲线的“上夹线”．………………………………14分

 

【解析】略