如图，在y轴的正半轴上依次有点A₁、A₂、…A_n…，其中点A₁（0，1）、A₂（0，10），且|A_n-1A_n|=3|A_nA_n+1|（n=2，3，4…），在射线y=x（x≥0）上依次有点B₁、B₂…、B_n…，点B₁的坐标为（3，3），且|OB_n|=|OB_n-1|+2

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（n=2，3，4…）．
（1）求|A_nA_n+1|（用含字母的式子表示）；
（2）求点A_n、B_n的坐标（用含n的式子表示）；
（3）设四边形A_nB_nB_n+1A_n+1面积为S_n，问{S_n}中是否存在不同的三项S₁，Sn，S_k（1＜n＜k，n、k∈N）恰好成等差数列？若存在，求出所有这样的三项，若不存在，请说明理由．