摘要：3．要掌握对数列各项的同加.同减.同乘以某一个不等于零的数的变形方法.将其转化为常见的一些数列． 几项． [例4] 已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式.求数列的通项公式． (1)Sn＝2n2-3n (2)Sn＝n2+1 (3)Sn＝2n+3 (4)Sn＝(-1)n+1·n 解 (1)当n=1时.a1=S1＝-1, 当n≥2时.an＝Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]＝4n-5.由于a1也适合此等式.因此an=4n-5． (2)当n＝1时.a1＝S1=1+1＝2, 当n≥2时.an＝Sn-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1]＝2n-1.由于a1不适合于此等式. (3)当n＝1时.a1=S1＝2+3=5, 当n≥2时.an=Sn-Sn-1＝2n+3-(2n-1+3)＝2n-1.由于a1不适合于此等式. (4)当n＝1时.a1＝S1=(-1)2·1=1, 当n≥2时.an＝Sn-Sn-1=(-1)n+1·n-(-1)n·n+1.由于a1也适可于此等式.因此an＝(-1)n+1.n∈N*． 说明 已知Sn求an时.要先分n＝1和n≥2两种情况分别进行计算.然后验证能否统一． (1)写出数列的前5项, (2)求an． 小题中前5项不难求出． [例6] 数列{an}中.a1＝1.对所有的n≥2.都有a1·a2·a3·-·an＝n2． (1)求a3+a5, 解 由已知:a1·a2·a3·-·an＝n2得 说明 (1)“知和求差 .“知积求商 是数列中常用的基本方法． (2)运用方程思想求n.若n∈N*.则n是此数列中的项.反之.则不是此数列中的项． [例7] 已知数an=(a2-1)(n3-2n)是递增数列.试确定a的取值范围． 解法一 ∵数列{an}是递增数列.∴an+1＞an an+1-an＝(a2-1)[(n+1)3-2(n+1)]-(a2-1)(n3-2n) ＝(a2-1)[(n+1)3-2(n+1)-n3+2n] ＝(a2-1)(3n2+3n-1) ∵(a2-1)(3n2+3n-1)＞0 又∵n∈N*.∴3n2+3n-1=3n(n+1)-1＞0 ∴a2-1＞0.解得a＜-1或a＞1． 解法二 ∵{an}是递增数列.∴a1＜a2即: (a2-1)(1-2)＜(a2-1)(8-4) 化简得 a2-1＞0 ∴a＜-1或a＞1 说明 本题从函数的观点出发.利用递增数列这一已知条件.将求取值范围的问题转化为解不等式的问题

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