Question

（2012•安徽模拟）已知等差数列{a_n}的前n项之和为S_n，且

a4

S4

=

2

5

，S6-S3=15．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足对任意的正整数m，n都有b_m+n=b_mb_n，且b1=

1

2

．对数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知

a4

S4

=

2

5

，S6-S3=15．列出关于a₁，d 的方程组，并求解，再求通项公式．
（2）令m=1，得b_1+n=b₁b_n=

1

2

b_n，所以数列{bn}是以且b1=

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列．得出a_nb_n=

n

2n

，利用错位相消法求和．

解答：解（1）由已知，得

a4+a5+a6=15  a4 a1  +a2+a3+a4 = 2 5

整理得

3a1+12d=15 a1+3d 4a1+6d  = 2 5

，解得a1=d=1，所以an=n
（2）令m=1，得b_1+n=b₁b_n=

1

2

b_n，所以数列{bn}是以且b1=

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列．
b_n=

1

2n

，a_nb_n=

n

2n

，
Tn=

1

2

+

2

22

+ …+

n-1

2n-1

 +

n

2n

2Tn=1+

2

22

+

3

23

+ …+

n

2n-1

两式相减得Tn=1+

1

2

+

1

22

+ …+

1

2n-1

-

n

2n

=2-

2

2n

-

n

2n

=2-

n+2

2n

点评：本题考查等差数列、等比数列通项公式、前n项和求解．考查构造、转化、计算能力．