摘要：12．已知f(x)是实数集R上的函数.且对任意x∈R.f(x)＝f(x+1)+f(x-1)恒成立． (1)求证:f(x)是周期函数, (2)已知f(3)＝2.求f． (1)证明:∵f(x)＝f(x+1)+f(x-1) ∴f(x+1)＝f(x)-f(x-1). 则f(x+2)＝f[(x+1)+1]＝f(x+1)-f(x) ＝f(x)-f(x-1)-f(x)＝-f(x-1)． ∴f(x+3)＝f[(x+1)+2]＝-f[(x+1)-1]＝-f(x)． ∴f(x+6)＝f[(x+3)+3]＝-f(x+3)＝f(x)． ∴f(x)是周期函数且6是它的一个周期． (2)解:f＝f＝f(0)＝-f(3)＝-2.

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