摘要：12．(2008·北京市西城区抽样测试)已知函数f(x)＝x|x-2|. (1)写出f(x)的单调区间, (2)解不等式f(x)<3. 设a>0.求f(x)在[0.a]上的最大值． (文)设0<a<2.求f(x)在[0.a]上的最大值． 解:(1)f(x)＝x|x-2|＝ ∴f(x)的单调递增区间是, 单调递减区间是[1,2]． (2)∵x|x-2|<3⇔ 或⇔2≤x<3或x<2. ∴不等式f(x)<3的解集为{x|x<3}． ①当0<a<1时.f(x)是[0.a]上的增函数.此时f(x)在[0.a]上的最大值是f(a)＝a(2-a), ②当1≤a≤2时.f(x)在[0,1]上是增函数.在[1.a]上是减函数.此时f(x)在[0.a]上的最大值是f(1)＝1, ③当a>2时.令f(a)-f(1)＝a(a-2)-1＝a2-2a-1>0.解得a>1+. ⅰ.当2<a≤1+时.此时f(a)≤f(1).f(x)在[0.a]上的最大值是f(1)＝1, ⅱ.当a>1+时.此时f(a)>f(1).f(x)在[0.a]上的最大值是f(a)＝a(a-2)． 综上.当0<a<1时.f(x)在[0.a]上的最大值是a(2-a),当1≤a≤1+时.f(x)在[0.a]上的最大值是1,当a>1+时.f(x)在[0.a]上的最大值是a(a-2)． (文)①当0<a<1时.f(x)是[0.a]上的增函数.此时f(x)在[0.a]上的最大值是f(a)＝a(2-a), ②当1≤a<2时.f(x)在[0,1]上是增函数.在[1.a]上是减函数.此时f(x)在[0.a]上的最大值是f(1)＝1.

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