估计这所学校有1500名学生知道母亲的生日．??????????????????????????????????????????????????? （6分）

（3）略（语言表述积极进取，健康向上即可得分）．?????????????????????????????????????????????? （7分）

２１．(本题满分８分)

解：（1）如图，由题意得，∠EAD=45°，∠FBD=30°．

∴ ∠EAC=∠EAD+∠DAC =45°+15°=60°．

∵  AE∥BF∥CD，

∴  ∠FBC=∠EAC=60°．

∴ ∠DBC=30°．　???????????????????????????????????????? 2分

又∵ ∠DBC=∠DAB+∠ADB，

　　∴ ∠ADB=15°．

∴ ∠DAB=∠ADB． ∴  BD=AB=2．

　　即B，D之间的距离为2km．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ４分

（2）过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，

　　在Rt△DBO中，BD=2，∠DBO=60°．

　　∴ DO=2×sin60°=2×,BO=2×cos60°=1．??????????????????????????????????????????????????? ６分

　　在Rt△CBO中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°=，

　　∴ CD=DO－CO=（km）．

　　即C，D之间的距离为km． ????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ８分

２２．解：（1）

（2）290，甲，20．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分（每空1分）

（3）在5月17日，甲厂生产帐篷50顶，乙厂生产帐篷30顶．???????????????????????????????????? 6分

设乙厂每天生产帐篷的数量提高了，则?????????????????????????????????????? 7分

．

答：乙厂每天生产帐篷的数量提高了．?????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

２３．解：（1）① 等边三角形；②重叠三角形的面积为．?????????????????????????? 5分

（2）用含的代数式表示重叠三角形的面积为；?????????????????????????? 7分

的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

（3）能；t=2。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１０分．

２４．本小题满分1０分．

（Ⅰ）证明  将△沿直线对折，得△，连，

则△≌△．    ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分

有，，，．

又由，得 ．  ????????????????????????????????????????? 2分

由，

，

得． ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

又，

∴△≌△．    ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

有，．

∴．???????????????????????????????????????????????????????????? ５分

∴在Rt△中，由勾股定理，

得．即． ??????????????????????????????????????????????????????? ６分

（Ⅱ）关系式仍然成立．  ???????????????????????????????????????????????????????????? ７分

证明  将△沿直线对折，得△，连，

则△≌△． ???????????????????????????????????????????????????? 8分

有，，

，．

又由，得 ．

由，

．

得．   ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ８分

又，

∴△≌△．

有，，，

∴．  

∴在Rt△中，由勾股定理，

得．即．????????????????????????????????????????????????????????? ９分

（３）．能；在直线ＡＢ上取点Ｍ，Ｎ使∠ＭＣＮ＝４５°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１０分

２５．（本题满分12分）

解：（1）设正方形的边长为cm，则

．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分

即．

解得（不合题意，舍去），．

剪去的正方形的边长为1cm．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

（注：通过观察、验证直接写出正确结果给3分）

（2）有侧面积最大的情况．

设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm²，

则与的函数关系式为：

．

即．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

改写为．

当时，．

即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm²．?????????????? 7分

（3）有侧面积最大的情况．

设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm²．

若按图1所示的方法剪折，则与的函数关系式为：

．

即．

当时，．??????????????????????????????????? 9分

若按图2所示的方法剪折，则与的函数关系式为：

．

即．

当时，．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm²．

说明：解答题各小题只给了一种解答及评分说明，其他解法只要步骤合理，解答正确，均应给出相应分数．

２６．（本小题满分12分）

解：（1）在Rt△ABC中，，

由题意知：AP = 5－t，AQ = 2t，

若PQ∥BC，则△APQ ∽△ABC，

∴，

∴，

∴．                                 ??????????????????????????????????????????????????????? 3′

（2）过点P作PH⊥AC于H．

∵△APH ∽△ABC，

∴，

∴，

∴，

∴．    　  ??????????????????????????????????????????? 6′

（3）若PQ把△ABC周长平分，

则AP+AQ=BP+BC+CQ．

∴，   

解得：．

若PQ把△ABC面积平分，

则，  即－＋3t=3．

∵ t=1代入上面方程不成立，

∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．???????????????? 9′

（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，

若四边形PQP ′ C是菱形，那么PQ＝PC．

∵PM⊥AC于M，

∴QM=CM．

∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．

∴，  ∴，

∴，

∴，

∴，

解得：．

∴当时，四边形PQP ′ C 是菱形．     

此时，　，

在Rt△PMC中，，

∴菱形PQP ′ C边长为．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12′

我们知道三角形的一条中线能将这个三角形分成面积相等的两个三角形，反之，若经过三角形的一个顶点引一条直线将这个三角形分成面积相等两个三角形，那么这条直线平分三角形的这个顶点的对边．如图1，若S_△ABD=S_△ADC，则BD=CD成立．
请你直接应用上述结论解决以下问题：

（1）已知：如图2，AD是△ABC的中线，沿AD翻折△ADC，使点C落在点E，DE交AB于F，若△ADE与△ADB重叠部分面积等于△ABC面积的

1

4

，问线段AE与线段BD有什么关系？在图中按要求画出图形，并说明理由．
（2）已知：如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，AB=4，点D是AB边的中点，点P是BC边上的任意一点，连接PD，沿PD翻折△ADP，使点A落在E，若△PDE与△PDB重叠部分的面积等于△ABP面积的

1

4

，直接写出BP²的值．

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我们知道三角形的一条中线能将这个三角形分成面积相等的两个三角形，反之，若经过三角形的一个顶点引一条直线将这个三角形分成面积相等两个三角形，那么这条直线平分三角形的这个顶点的对边．如图1，若S_△ABD=S_△ADC，则BD=CD成立．
请你直接应用上述结论解决以下问题：

（1）已知：如图2，AD是△ABC的中线，沿AD翻折△ADC，使点C落在点E，DE交AB于F，若△ADE与△ADB重叠部分面积等于△ABC面积的

1

4

，问线段AE与线段BD有什么关系？在图中按要求画出图形，并说明理由．
（2）已知：如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，AB=4，点D是AB边的中点，点P是BC边上的任意一点，连接PD，沿PD翻折△ADP，使点A落在E，若△PDE与△PDB重叠部分的面积等于△ABP面积的

1

4

，直接写出BP²的值．

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如图，已知正三角形ABC的边长AB是480毫米．一质点D从点B出发，沿BA方向，以每秒钟10毫米的速度向点A运动．
（1）建立合适的直角坐标系，用运动时间t（秒）表示点D的坐标；
（2）过点D在三角形ABC的内部作一个矩形DEFG，其中EF在BC边上，G在AC边上．在图中找出点D，使矩形DEFG是正方形（要求所表达的方式能体现出找点D的过程）；
（3）过点D、B、C作平行四边形，当t为何值时，由点C、B、D、F组成的平行四边形的面积等于三角形ADC的面积，并求此时点F的坐标． 查看习题详情和答案>>

已知△ABC是正三角形，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．
（1）如图，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，画出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不谢画法，但要保留画图痕迹）；
（2）若正三角形ABC的边长为3+2

3

，则（1）中画出的正方形E′F′P′N′的边长为

 

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