Question

已知动圆M：x²+y²-2mx-2ny+m²-1=0与圆N:x²+y²+2x+2y-2=0交于A、B两点,且这两点平分圆N的圆周.

(1)求动圆M的圆心的轨迹方程;

(2)求半径最小时圆M的方程.

Answer 1

解：(1)如图所示（坐标系省略了），圆心N（-1，-1）为弦AB的中点，在Rt△AMN中，|AM|²=|AN|²+|MN|²，∴（m+1）²=-2(n+2).                                   (*)

    故动圆圆心M的轨迹方程为（x+1）²=-2(y+2).

    (2)由(*)式,知(m+1)²=-2(n+2)≥0,于是有n≤-2.

    而圆M半径r=≥,

    ∴当r=时，n=-2,m=-1，所求圆的方程为(x+1)²+(y+2)²=5.