摘要：5．如图所示.已知为坐标原点.为轴上一动点.过点作直线交抛物线于两点..试问:当为何值时.取得最小值.并求出这个最小值. 例6．给定双曲线. (1)过点的直线与所给的双曲线交于.求线段的中点的轨迹方程, (2)过点能否作直线.使与所给的双曲线交于.且是线段的中点?若存在.求出直线方程.如果不存在.请说明理由. ［剖析］本题是探索性问题.考查方程思想.韦达定理及解析几何中的“设而不求 的思想. ［解］(1)解法一:设. (i)若存在.则由可得. ②① ① ①②.得.代入②.得 有 (ii)当不存在时.有.则也合符合上式. 综合(i)(ii)可知点的轨迹方程为. 解法二:设.则. 两式相减.得 当.时..即, 当时.也满足. 故点的轨迹方程为. (2)假设满足题设条件的直线存在.设 可得 . 直线的方程为.即 由于方程组无解.故满足条件的直线不存在. ［警示］探索性试题常见的题型有两类:一类是给出问题对象的一些特殊关系.要求解题者探索出一般规律.并能论证所得规律的正确性,通常要求对已知关系进行观察.比较.分析.然后概括出一般规律.第二类是只给出条件.要求解题者论证在此条件下.会不会出现某个结论.这类问题常以适合某种条件下的结论“存在 .“不存在 与“是否存在 等词语表述.解决这类问题.一般要先对结论作出肯定存在的假设.然后由假设出发.结合已知条件进行推理论证.若推出相符的结论.则存在性也随之解决,若推导出矛盾.则否定了存在性. ［变式训练］

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