对于无穷数列{x_n}和函数f（x），若x_n+1=f（x_n）（n∈N₊），则称f（x）是数列{x_n}的母函数．
（Ⅰ）定义在R上的函数g（x）满足：对任意α，β∈R，都有g（αβ）=αg（β）+βg（α），且g(

1

2

)=1；又数列{a_n}满足：an=g(

1

2n

)．
求证：（1）f（x）=x+2是数列{2ⁿa_n}的母函数；
（2）求数列{a_n}的前项n和S_n．
（Ⅱ）已知f(x)=

2012x+2

x+2013

是数列{b_n}的母函数，且b₁=2．若数列{

bn-1

bn+2

}的前n项和为T_n，求证：25(1-0.99n)＜Tn＜250(1-0.999n)(n≥2)．

已知f（x）是定义域为R的函数，给出下列命题：
①若f′（1）=0，则x=1是f（x）的极值点；
②若1＜a＜3，则函数f（x）=

(3-a)x-3，x≤7 ax-6，x＞7

是单调函数；
③若f（x）为奇函数，又f（x+1）为偶函数，则f（1）+f（3）+…+f（19）=f（2）+f（4）+…+f（20）；
④若f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*），且f（x）在x=1处的切线与x轴交于点（x_n，0），则lgx₁+lgx₂+…+lgx₉₉=-2
其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）．

已知a、b为常数，且a≠0，函数f（x）=

x

ax+b

，且f（3）=1，又方程f（x）=x有唯一解．
（I）求f（x）的解析式及方程f（x）=x的解；
（Ⅱ）当x_n=f（x_n-1）（n＞1），数列{

1

xn

}是何数列？请说明理由．