（2012•宣城模拟）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*，有2a_n=S_n+n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设f（n）=n² （n∈N^*），试比较S_n与f（n）的大小，并说明理由．

已知f（x）=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx+d的图象过原点，且在点（-1，f（-1））处的切线与x轴平行．对任意x∈R，都有x≤f′（x）≤

1

2

(x2+1)．
（1）求函数y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率；
（2）求f（x）的解析式；
（3）设g（x）=12f（x）-4x²-3x-3，h(x)=

m

x

+x•lnx，对任意x1，x2∈[

1

2

，2]，都有h（x₁）≥g（x₂），求实数m的取值范围．

数列{a_n}是公差为d（d＞0）的等差数列，且a₂是a₁与a₄的等比中项，设S_n=a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1（n∈N^*）．
（1）求证：

Sn

+

Sn+2

=2

Sn+1

；
（2）若d=

1

4

，令b_n=

Sn

2n-1

，{b_n}的前n项和为T_n，是否存在整数P、Q，使得对任意n∈N^*，都有P＜T_n＜Q，若存在，求出P的最大值及Q的最小值；若不存在，请说明理由．

（2009•黄浦区二模）若数列{a_n}满足a_n+2+pa_n+1+qa_n=0（其中p²+q²≠0，且p、q为常数）对任意n∈N^*都成立，则我们把数列{a_n}称为“L型数列”．
（1）试问等差数列{a_n}、等比数列{b_n}（公比为r）是否为L型数列？若是，写出对应p、q的值；若不是，说明理由．
（2）已知L型数列{a_n}满足a_n+1+pa_n+qa_n-1=0（n≥2，n∈N^*，p²-4q＞0，q≠0），x₁、x₂是方程x²+px+q=0的两根，若b-ax_i≠0（i=1，2），求证：数列{a_n+1-x_ia_n}（i=1，2，n∈N^*）是等比数列（只选其中之一加以证明即可）．
（3）请你提出一个关于L型数列的问题，并加以解决．（本小题将根据所提问题的普适性给予不同的分值，最高10分）

（2012•绵阳三模）已知数列{a_n}各项均为正数，S_n为其前n项和，对于n∈N^*，总有an，Sn，

a

2 n

成等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项a_n；
（II）设数列{

1

an

}的前n项和为T_n，数列{T_n}的前n项和为R_n，求证：当n≥2，n∈N^*时，R_n-1=n（T_n-1）；
（III）对任意n≥2，n∈N^*，试比较

1

n

+

1

n+1

+

n

i=1

a -3 i

与2+

1

2

的大小．