摘要：［例1］ 从0,1.2,3这四位数字中任取3个进行排列.组成无重复数字的三位数.求排成的三位数是偶数的概率. 错解:记“排成的三位数是偶数 为事件A. P(A)＝＝. 错因:上述解法忽略了排成的三位数首位不能为零. 正解:记“排成的三位数的个位数字是0 为事件A.“排成的三位数的个位数字是2 为事件B.且A与B互斥.则“排成的三位数是偶数 为事件A+B.于是 P＝+＝. [例2] 从1,2.3.-,100这100个数中.随机取出两个数.求其积是3的倍数的概率. 错解:从1,2.3.-,100这100个数中.随机取出两个数.其积是3的倍数.则须所取两数至少有一个是3的倍数. 记事件A为任取两整数相乘为3的倍数.则 P(A)＝ 错因: 这里相关的排列组合问题没有过关. 正解:基本事件数有种.在由1到100这100个自然数中.3的倍数的数组成的集合M中有33个元素.不是3的倍数组成的集合N中有67个元素.事件A为任取两整数相乘为3的倍数.分两类:(1)取M中2个元素相乘有种,(2)从集合M.N中各取1个元素相乘有种.因为这两类互斥.所以 P(A)＝. [例3] 在房间里有4个人.问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少? 解:由于事件A“至少有两个人的生日是同一个月 的对立事件是“任何两个人的生日都不同月 .因而 至少有两个人的生日是同一个月的概率为: P(A)＝1-P()＝1-＝1-. [例4] 某单位6名员工借助互联网开展工作.每个员工上网的概率都是0.5至少3人同时上网的概率,(2)至少几人同时上网的概率小于0.3? 解:(1)至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率.即 1---＝1-. (2)6人同时上网的概率为＜0.3, 至少5人同时上网的概率为+＜0.3, 至少4人同时上网的概率为++＞0.3. 故至少5人同时上网的概率小于0.3. [例5]设甲.乙两射手独立地射击同一目标.他们击中目标的概率分别为0.9.0.8.求:(1)目标恰好被甲击中的概率,(2)目标被击中的概率. 解:设事件A为“甲击中目标 .事件B为“乙击中目标 . 由于甲.乙两射手独立射击.事件A与B是相互独立的. 故A与.与B也是相互独立的. (1)目标恰好被甲击中.即事件A发生. P(A·)＝P(A)×P()＝0.9×＝0.18. ∴目标恰好被甲击中的概率为0.18. (2)目标被击中即甲.乙两人中至少有1人击中目标.即事件A·.·B.A·B发生. 由于事件A·.·B.A·B彼此互斥. 所以目标被击中的概率为 P(A·+·B+A·B)＝P(A·)+P(·B)+P ＝P(A)·P()+P()·P ＝0.9×0.2+0.1×0.8+0.9×0.8＝0.98. 评注:运用概率公式求解时.首先要考虑公式的应用前提.本题(2)也可以这样考虑:排除甲.乙都没有击中目标.因为P(·)＝P()·P()＝0.1×0.2＝0.02. 所以目标被击中的概率为 1-P(·)＝1-0.02＝0.98. [例6]某课程考核分理论与实验两部分进行.每部分考核成绩只记“合格 与“不合格 .两部分考核都是“合格 则该课程考核“合格 .甲.乙.丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9.0.8.0.7,在实验考核中合格的概率分别为0.8.0.7.0.9.所有考核是否合格相互之间没有影响. (1)求甲.乙.丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率, (2)求这三人课程考核都合格的概率. 解: 记“甲理论考核合格 为事件A1.“乙理论考核合格 为事件A2.“丙理论考核合格 为事件A3.“甲实验考核合格 为事件B1.“乙实验考核合格 为事件B2.“丙实验考核合格 为事件B3. (1)记“理论考核中至少有两人合格 为事件C. 则P(C)＝P(A1 A2 +A1 A3+ A2 A3+A1 A2 A3) ＝P(A1 A2 )+P(A1 A3)+P( A2 A3)+P(A1 A2 A3) ＝0.9×0.8×0.3+0.9×0.2×0.7+0.1×0.8×0.7+0.9×0.8×0.7 ＝0.902 (2)记“三人该课程考核都合格 为事件D. 则P(D)＝P［(A1·B1)·(A2·B2)·(A3·B3)］ ＝P(A1·B1)·P(A2·B2)·P(A3·B3) ＝P(A1)·P(B1)·P(A2)·P(B2)·P(A3)·P(B3) ＝0.9×0.8×0.8×0.8×0.7×0.9 ≈0.254 所以.理论考核中至少有两人合格的概率为0.902, 这三人该课程考核都合格的概率为0.254.

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