已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E，F分别为D₁C₁，B₁C₁上的点．且满足

C1E

=λ

C1D1

，

C1F

=λ

C1B1

(0＜λ＜1)，
（1）若在AB上有一点P，使A₁C⊥平面PEF，求

|AP|

|AB|

的值．
（2）求此正方体在平面PEF内射影的面积．

（2008•杨浦区二模）在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，（如图）E是棱C₁D₁的中点，F是侧面AA₁D₁D的中心．
（1）求三棱锥A₁-D₁EF的体积；
（2）求EF与底面A₁B₁C₁D₁所成的角的大小．（结果可用反三角函数表示）

（2013•安徽）如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC₁上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．
①当0＜CQ＜

1

2

时，S为四边形
②当CQ=

1

2

时，S为等腰梯形
③当CQ=

3

4

时，S与C₁D₁的交点R满足C₁R=

1

3

④当

3

4

＜CQ＜1时，S为六边形
⑤当CQ=1时，S的面积为

6

2

．

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BC、C₁D₁的中点．求证：
（1）平面D₁AC⊥平面B₁D₁BD；  
（2）直线EF∥平面D₁AC．