如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）证明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.

【解析】解法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）证明：易得，于是,所以

(2) ,设平面PCD的法向量，

则,即.不防设，可得.可取平面PAC的法向量于是从而.

所以二面角A-PC-D的正弦值为.

（3）设点E的坐标为（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）证明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如图，作于点H，连接DH.由,,可得.

因此,从而为二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值为.

（3）如图，因为，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF. 故或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.

（理）（本小题8分）如图，在四棱锥中，底面是矩形， 平面，，，以的中点为球心、为直径的球面交于点.

(1) 求证:平面平面；

（2）求点到平面的距离.  

证明：（1）由题意，在以为直径的球面上，则

平面，则

又，平面，

∴，

平面，

∴平面平面.       （3分）

（2）∵是的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，由（1）知，平面于，则线段的长就是点到平面的距离

     ∵在中，

     ∴为的中点，                 （7分）

     则点到平面的距离为                 （8分）

    （其它方法可参照上述评分标准给分）

设函数f（x）=在[1，+∞上为增函数.  

（1）求正实数a的取值范围；

（2）比较的大小，说明理由；

（3）求证：（n∈N*, n≥2）

【解析】第一问中，利用

解:（1）由已知：，依题意得：≥0对x∈[1，+∞恒成立

∴ax－1≥0对x∈[1，+∞恒成立    ∴a－1≥0即：a≥1

（2）∵a=1   ∴由（1）知：f（x）=在[1，+∞)上为增函数，

∴n≥2时：f（）=

 (3)  ∵   ∴

已知幂函数满足。

（1）求实数k的值，并写出相应的函数的解析式；

（2）对于（1）中的函数，试判断是否存在正数m，使函数，在区间上的最大值为5。若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。

【解析】本试题主要考查了函数的解析式的求解和函数的最值的运用。第一问中利用，幂函数满足，得到

因为，所以k=0，或k=1，故解析式为

（2）由（1）知，，，因此抛物线开口向下，对称轴方程为：，结合二次函数的对称轴，和开口求解最大值为5.，得到

（1）对于幂函数满足，

因此，解得，………………3分

因为，所以k=0，或k=1，当k=0时，，

当k=1时，，综上所述，k的值为0或1，。………………6分

（2）函数，………………7分

由此要求，因此抛物线开口向下，对称轴方程为：，

当时，，因为在区间上的最大值为5，

所以，或…………………………………………10分

解得满足题意