1．双曲线定义: (1)到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长(＜|F1F2|)的点的轨迹((为常数))这两个定点叫双曲线的焦点 (2)动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常——青夏教育精英家教网——

摘要：1．双曲线定义: (1)到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长(＜|F1F2|)的点的轨迹((为常数))这两个定点叫双曲线的焦点 (2)动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e＞1)时.这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点.定直线l叫做双曲线的准线

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定义变换T：

cosθ•x+sinθ•y=x′

′sinθ•x-cosθ•y=y′

可把平面直角坐标系上的点P（x，y）变换到这一平面上的点P′（x′，y′）．特别地，若曲线M上一点P经变换公式T变换后得到的点P'与点P重合，则称点P是曲线M在变换T下的不动点．
（1）若椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为2

，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2．求该椭圆C的标准方程．并求出当θ=arctan

时，其两个焦点F₁、F₂经变换公式T变换后得到的点F_1^′和F₂^′的坐标；
（2）当θ=arctan

时，求（1）中的椭圆C在变换T下的所有不动点的坐标；
（3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换T：

cosθ•x+sinθ•y=x′

′sinθ•x-cosθ•y=y′

，k∈Z）下的不动点的存在情况和个数．查看习题详情和答案>>

已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的焦点和上顶点分别为F₁、F₂、B，我们称△F₁BF₂为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比．已知椭圆C₁

=1以抛物线y2=4

x的焦点为一个焦点，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4．（1）若椭圆C₂与椭圆C₁相似，且相似比为2，求椭圆C₂的方程．
（2）已知点P（m，n）（mn≠0）是椭圆C₁上的任一点，若点Q是直线y=nx与抛物线x2=

y异于原点的交点，证明点Q一定落在双曲线4x²-4y²=1上．
（3）已知直线l：y=x+1，与椭圆C₁相似且短半轴长为b的椭圆为C_b，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直线l上，B，D在曲线C_b上，若存在求出函数f（b）=S_ABCD的解析式及定义域，若不存在，请说明理由．查看习题详情和答案>>

已知椭圆C：

的焦点和上顶点分别为F₁、F₂、B，我们称△F₁BF₂为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比．已知椭圆C₁

的焦点为一个焦点，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4．（1）若椭圆C₂与椭圆C₁相似，且相似比为2，求椭圆C₂的方程．
（2）已知点P（m，n）（mn≠0）是椭圆C₁上的任一点，若点Q是直线y=nx与抛物线

异于原点的交点，证明点Q一定落在双曲线4x²-4y²=1上．
（3）已知直线l：y=x+1，与椭圆C₁相似且短半轴长为b的椭圆为C_b，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直线l上，B，D在曲线C_b上，若存在求出函数f（b）=S_ABCD的解析式及定义域，若不存在，请说明理由．
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定义变换T：

可把平面直角坐标系上的点P（x，y）变换到这一平面上的点P′（x′，y′）．特别地，若曲线M上一点P经变换公式T变换后得到的点P'与点P重合，则称点P是曲线M在变换T下的不动点．
（1）若椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为

，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2．求该椭圆C的标准方程．并求出当

时，其两个焦点F₁、F₂经变换公式T变换后得到的点F_1^′和F₂^′的坐标；
（2）当

时，求（1）中的椭圆C在变换T下的所有不动点的坐标；
（3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换T：

，k∈Z）下的不动点的存在情况和个数．
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