题目内容

定义变换T：
cosθ•x+sinθ•y=x′
′sinθ•x-cosθ•y=y′
可把平面直角坐标系上的点P（x，y）变换到这一平面上的点P′（x′，y′）．特别地，若曲线M上一点P经变换公式T变换后得到的点P'与点P重合，则称点P是曲线M在变换T下的不动点．
（1）若椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为2
2
，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2．求该椭圆C的标准方程．并求出当θ=arctan
3
4
时，其两个焦点F1、F2经变换公式T变换后得到的点F1′和F2′的坐标；
（2）当θ=arctan
3
4
时，求（1）中的椭圆C在变换T下的所有不动点的坐标；
（3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换T：
cosθ•x+sinθ•y=x′
′sinθ•x-cosθ•y=y′
（θ≠
kπ
2
，k∈Z）下的不动点的存在情况和个数．
分析：（1）设椭圆C的标准方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），求出c，a，b然后结合定义变换T，求出点F1′和F2′的坐标．
（2）θ=arctan
3
4
时，利用（1）中的椭圆C在变换T下，点P（x，y）∈C，根据椭圆方程求出的不动点的坐标；
（3）设P（x，y）是双曲线在变换下的不动点，推出
y
x
=
1-cosθ
sinθ
=
sinθ
1+cosθ
=tan
θ
2
，设双曲线方程为
x2
m
+
y2
n
=1（mn＜0），y=tan
θ
2
x代入，推出
n+mtan2
θ
2
mn
x2=1 讨论mn＜0，故当n+mtan2
θ
2
=0时，方程
n+mtan2
θ
2
mn
x2=1无解；
当n+mtan2
θ
2
≠0时，要使不动点存在，则需x2=
mn
n+mtan2
θ
2
＞0，
因为mn＜0，故当n+mtan2
θ
2
＜0时，双曲线在变换T下一定有2个不动点，否则不存在不动点．
进一步分类：
（i）当n＜0，m＞0下一定有2个不动点；
（ii）当n＞0，m＜0时，双曲线在变换T下一定有2个不动点．
解答：解：（1）设椭圆C的标准方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
由椭圆定义知焦距2c=2
2
?c=
2
，即a2-b2=2①．
又由条件得a2+b2=4②，故由①、②可解得a2=3，b2=1．
即椭圆C的标准方程为
x2
3
+y2=1．
且椭圆C两个焦点的坐标分别为F1(-
2
，0)和F1(
2
，0)．
对于变换T：
cosθ•x+sinθ•y=x′
′sinθ•x-cosθ•y=y′
，当θ=arctan
3
4
时，
可得
4
5
x+
3
5
y=x′
3
5
x-
4
5
y=y′

设F1′（x1，y1）和F2′（x2，y2）分别是由F1(-
2
，0)和F1(
2
，0)的坐标由变换公式T变换得到．于是，
x1=
4
5
•(-
2
)+
3
5
•0=-
4
2
5
y1=
3
5
•(-
2
)-
4
5
•0=-
3
2
5
，即F1′的坐标为(-
4
2
5
，-
3
2
5
)；
又
x2=
4
5
•
2
+
3
5
•0=
4
2
5
y2=
3
5
•
2
-
4
5
•0=
3
2
5
即F2′的坐标为(
4
2
5
，
3
2
5
)．
（2）设P（x，y）是椭圆C在变换T下的不动点，则当θ=arctan
3
4
时，
有
4
5
x+
3
5
y=x
3
5
x-
4
5
y=y
?x=3y，由点P（x，y）∈C，即P（3y，y）∈C，
得：
(3y)2
3
+y2=1
y=±
1
2
x=3y
，因而椭圆
的不动点共有两个，分别为(
3
2
，
1
2
)和(-
3
2
，-
1
2
)．
（3）设P（x，y）是双曲线在变换
下的不动点，则由
cosθ•x+sinθ•y=xsinθ•x-cosθ•y=y
?
sinθ•y=(1-cosθ)•xsinθ•x=(1+cosθ)•y

因为θ≠
kπ
2
，k∈Z，故
y
x
=
1-cosθ
sinθ
=
sinθ
1+cosθ
=tan
θ
2
．
不妨设双曲线方程为
x2
m
+
y2
n
=1（mn＜0），由y=tan
θ
2
x代入得
则有
x2
m
+
(tan
θ
2
•x)2
n
=1?
n+mtan2
θ
2
mn
x2=1，
因为mn＜0，故当n+mtan2
θ
2
=0时，方程
n+mtan2
θ
2
mn
x2=1无解；
当n+mtan2
θ
2
≠0时，要使不动点存在，则需x2=
mn
n+mtan2
θ
2
＞0，
因为mn＜0，故当n+mtan2
θ
2
＜0时，双曲线在变换T下一定有2个不动点，否则不存在不动点．
进一步分类可知：
（i）当n＜0，m＞0时，即双曲线的焦点在
轴上时，?n+mtan2
θ
2
＜0?tan2
θ
2
＜-
n
m
；
此时双曲线在变换
下一定有2个不动点；
（ii）当n＞0，m＜0时，即双曲线的焦点在y轴上时，?n+mtan2
θ
2
＜0?tan2
θ
2
＞-
n
m
＞0．
此时双曲线在变换T下一定有2个不动点．
点评：本题考查解椭圆的应用，椭圆的简单性质，考查分析问题解决问题的能力，转化思想，计算能力，分类讨论思想，是难题，创新题．
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