摘要：如图所示.在三棱锥P-ABC中.AB⊥BC.AB=BC=kPA.点O.D分别是AC.PC的中点. OP⊥底面ABC. (1)若k=1.试求异面直线PA与BD所成角余弦值的大小, (2)当k取何值时.二面角O-PC-B的大小为? 解 ∵OP⊥平面ABC.又OA=OC.AB=BC. 从而OA⊥OB.OB⊥OP.OA⊥OP. 以O为原点.建立如图所示空间直角坐标系O-xyz. (1)设AB=a.则PA=a.PO=a. A(a.0.0).B(0.a.0). C(-a.0.0).P(0.0.a). 则D(-a.0.a). ∵=(a.0.-a ).=(-a.-a.a). ∴cos〈,〉===-, 则异面直线PA与BD所成角的余弦值的大小为. (2)设AB=a.OP=h.∵OB⊥平面POC. ∴=(0.a.0)为平面POC的一个法向量. 不妨设平面PBC的一个法向量为n=. ∵A(a.0.0).B(0.a.0).C(-a.0.0).P. ∴=(-a,- a,0),=(- a,0,-h), 由 不妨令x=1.则y=-1.z=-. 即n=(1,-1,- ),则cos= ==2+=4h=a, ∴PA===a, 而AB=kPA,∴k=. 故当k=时,二面角O-PC-B的大小为.

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