摘要：(天津市十二区县重点中学) 已知函数 (Ⅰ)判断的奇偶性, (Ⅱ)在上求函数的极值, (Ⅲ)用数学归纳法证明:当时.对任意正整数都有 解:(Ⅰ) .--3分 (Ⅱ)当时. ---5分 令有. 当x变化时的变化情况如下表: 由表可 知: ( + 0 - 增 极大值 减 当时取极大值. ---7分 (Ⅲ)当时 ---8分 考虑到:时.不等式等价于-(1) 所以只要用数学归纳法证明不等式(1)对一切都成立即可---9分 (i)当时.设 . ---10分 故.即 所以.当时.不等式(1)都成立 ---11分 (ii)假设时.不等式(1)都成立.即 当时设 有 ---12分 故为增函数. 所以..即. ---13分 这说明当时不等式(1)也都成立. 根据对一切都成立. 故原不等式对一切都成立. ---14分

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