摘要：(二)特别提示: 1．在使用公式a+b≥2ab和≥时.要注意这两者成立的条件 是不相同的.前者只要求a.b都是实数.而后者要求a.b都是正数． 2．在使用二元均值定理求最值时.必须具备三个条件:①在所求最值的代 数式中.各变数均应是正数(如不是.则进行变号转换),②各变数的和或积必须为常数.以确保不等式一边为定值(如不是.则进行拆项或分解.务必使不等式的一端的和或积为常数),③各变数有相等的可能(即相等时.变量字母有实数解.且在定义域内.如无.则说明拆项.分解不当.此时.应重新拆项.分解或改用其它方法.比如.已知x[2.3].求函数y = x+的最小值.从形式上看可以使用二元均值定理.但等号成立的条件不具备.因此.要考虑函数的单调性把问题解决)． 3．在使用均值定理证明问题时.要注意它们反复使用后.再相加相乘时字 母应满足的条件及多次使用后等号成立的条件是否一致.若不一致.则不等式中的等号不能成立． 例11．有一组数据:它们的算术平均值为10.若去掉其中最大的一个.余下的数据的算术平均值为9,若去掉其中最小的一个.余下数据的算术平均值为11．(Ⅰ)求出第一个数关于n的表达式及第n个数关于n的表达式.(Ⅱ)若都是正整数.试求第n个数的最大值.并举出满足题目要求且取到最大值的一组数据． 解:依条件: 得: 再得:x1=11-n． (Ⅱ)∵x1是正整数.∴x1=11-n≥1..∴xn=n+9≤19． 当n=10时.． 此时.取即可. ∴当n=10时.xn的最大值是19． 点评:注意掌握均值不等式成立的条件及其变形,注意掌握“凑 的技巧.创造应用均值不等式的情境,注意掌握均值不等式等号成立的条件． 例12．(山东省聊城市2007-2008学年度第一学期高三期末统考)某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂.第一年共支出12万元.以后每年支出增加4万元.从第一年起每年蔬菜销售收入50万元.设表示前n年的纯利润总和(f(n)=前n年的总收入一前n年的总支出一投资额)．(1)该厂从第几年开始盈利?(2)若干年后.投资商为开发新项目.对该厂有两种处理方案:①年平均纯利润达到最大时.以48万元出售该厂,②纯利润总和达到最大时.以16万元出售该厂.问哪种方案更合算? 解:由题意知 (1)由. 由知.从经三年开始盈利． (2)方案①:年平均纯利润.当且仅当n=6时等号成立． 故方案①共获利6×16+48=144.此时n=6． 方案②:当n=10. 故方案②共获利128+16.144． 比较两种方案.获利都是144万元.但由于第①种方案只需6年.而第②种方案需10年.故选择第①种方案更合算． 点评:不等式的应用问题.综合性强.是高考应用命题的重点之一.不等式的应用题大部分以函数的面目出现.在解决范围问题或求最值时.均值不等式为主要工具.从而解决实际问题.解题步骤:1.先理解题意.设变量.设变量时一般把要求最值的变量定为函数,2.建立相应的函数关系.把实际问题抽象为函数的最值问题,3.在定义域内.求出函数的最值,4.正确写出答案． 考点五:不等式证明问题 作差比较法的程序是:作差---变形----判断差的正负,作商比较法的程序是:作商------变形------判断商与1的大小(商式的分子分母均要为正)． 综合法证明不等式是“由因导果 .分析法证明不等式是“执果索因 .它们是两种思路截然相反的方法.分析法便于寻找解题思路.而综合法便于叙述． 例13．(山东省潍坊市2008年5月高三教学质量检测) 已知各项均为正数的 等比数列{an}.公比q>1.且满足a2a4=64.a3+2是a2.a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式,(2)设.试比较An与Bn的大小.并证明你的结论． 解:(1)的等差中项.解得q=2或. 得.当n=1时.A1=2.B1=(1+1)2=4.A1<B1,当n=2时.A2=6.B2=(2+1)2=9.A2<B2,当n=3时.A3=14.B3=(3+1)2=16.A3<B3,当n=4时.A4=30.B4=(4+1)2=25.A4>B4, 由上可猜想.当1≤n≤3时.An<Bn,当n≥4时.An>Bn． 下面用数学归纳法给出证明:①当n=4时.已验证不等式成立． ②假设n=k时.Ak>Bk成立.即, 即当n=k+1时不等式也成立.由①②知.当 综上.当时.An<Bn,当 点评:本题是用数学归纳法来证明不等式的.实际上运用数学归纳法.可以证明下列问题:与自然数n有关的恒等式.代数不等式.三角不等式.数列问题.几何问题.整除性问题等等． 例13．(福建省八闽高中2008年教学协作组织联考)设数列的前n项和为.已知.且.(I)求数列的通项公式,(II)的大小关系.并给出证明． 解:(I)∵.∴. ∴.又∵． (II)∵.∴.∴ ----- 10分 点评:本题是用放缩法证明不等式．所谓放缩法.就是针对不等式的结构特征.运用不等式及有关的性质.对所证明的不等式的一边进行放大或缩小或两边放大缩小同时兼而进行.似达到证明结果的方法.但无论是放大还是缩小都要遵循不等式传递性法则.保证放大还是缩小的连续性.不能牵强附会.须做到步步有据．比如:证a＜b.可先证a＜h1.成立.而h1＜b又是可证的.故命题得证． 利用放缩法证明不等式.既要掌握放缩法的基本方法和技巧.又须熟练不等式的性质和其他证法.做到放大或缩小恰到好处.才有利于问题的解决.现举例说明用放缩法证明不等式的几种常用方法． 例14．(江苏省盐城中学2008年高三上学期第二次调研测试题)已知a>0.b>0.c>0.abc=1.试证明:． 证明:由.所以 同理: . 相加得:左³． 点评:本题是用的基本不等式的变形来处理的． 例15．(山东省文登三中2009届高三第三次月考试题)已知函数的图象经过原点．(Ⅰ)若..成等差数列.求的值,(Ⅱ)若.三个正数..成等比数列.． 证明:(Ⅰ)由.得.. .又成等差数列. 即: 即:.解之得:或. 经检验.是增根.∴． (Ⅱ)证明: . 时等号成立． 此时 即:. 例16．(福建德化一中2008年秋季高三第二次质量监控考试)已知函数 是定义在上的奇函数,当时, (其中e是自然界对数的底, ),(1) 求的解析式,(2) 设.求证:当.时.,(3)是否存在负数a.使得当时.的最小值是3 ?如果存在.求出实数a的值,如果不存在.请说明理由． 解:(1)设.则.所以.又因为是定义在上的奇函数.所以 故函数的解析式为 (2)证明:当且时..设.因为.所以当时..此时单调递减,当时..此时单调递增.所以.又因为.所以当时..此时单调递减.所以 所以当时.即． (3)解:假设存在负数.使得当时.有最小值是3.则． ①当.由于.则.故函数 是上的增函数． 所以.解得 ②当时.则 当时..此时函数是减函数, 当时..此时函数是增函数． 所以.解得满足题意. 综上可知.存在负数.使得当时.有最小值3． 点评:本题是利用函数的单调性和导数知识来解决的．函数和不等式是密切相关的.不等式可视为两个函数值大小的比较.在处理不等式的有关问题时.注意运用函数思想作指导.即研究题设所提供的信息.通过观察分析.构造一个适当的函数.然后利用函数的图象和性质加以研究.往往能是问题获得新颖别致.简捷明快的解答． 例17．(浙江省余姚中学08-09学年上学期高三第三次质量检测)设函数求证:(1),(2)函数在区间(0.2)内至少有一个零点,(3)设是函数的两个零点.则 证明:(1).．又 ..又2c=-3a-2b 由3a＞2c＞2b ∴3a＞-3a-2b＞2b.∵a＞0 ． =4a+2b+c=a-c ①当c＞0时.∵a＞0.∴f(0)=c＞0且 ∴函数f内至少有一个零点 ②当c≤0时.∵a＞0 ∴函数f内至少有一个零点. 综合①②得f内至少有一个零点． (3)∵x1.x2是函数f(x)的两个零点.则的两根.∴. .． 点评:本题是利用不等式的性质和二次函数的有关性质来求解． 考点五:与不等式交汇的问题 不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系.通常以不等式与函数.三角.向量.数列.解析几何.数列的综合问题的形式出现.尤其是以导数或向量为背景的导数.不等式.函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题.问题多属于中档题甚至是难题.对不等式的知识.方法与技巧要求较高.下面举例说明: 1．以集合为背景的不等式 以集合为背景的不等式.以考查不等式的解法和集合的有关概念与运算为目的.解题时应注意将不等式的解法与集合的有关概念和运算相结合.准确解题． 例17．(广东省深圳中学2008-2009学年度高三第一学段考试)已知集合.全集为实数集R．(1)求, (2)如果的取值范围． 解:(1).． (2)如图 当a>3时.A 点评:本题重点考查集合的运算及数形结合的思想． 2．以线性规划形式出现的不等式 例18．(山东省莱芜市2008届高三年级期末考试)电视台某广告公司特约播放两部片集.其中片集甲每片播放时间为20分钟.广告时间为1分钟.收视观众为60万,片集乙每片播放时间为10分钟.广告时间为1分钟.收视观众为20万.广告公司规定每周至少有6分钟广告.而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间问电视台每周应播放两部片集各多少集.才能使收视观众最多.(2)在获得最多收视观众的情况下.片集甲.乙每集可分为给广告公司带来的a和b的效益.若广告公司本周共获得1万元的效益.记为效益调和指数.求效益调和指数的最小值．(取) 解:(1)设片集甲.乙分别播放x.y集设片集甲.乙分别播放x.y集 则有.要使收视观众最多.则只要Z=60x+20y最大即可. 如图作出可行域. 易知满足题意的最优解为 (2.4). 故电视台每周片集甲播出2集.片集乙播出4集.其收视人观众最多.-----7分 (2)由题意得:2a+4b=1 =11.64． 所以效益调和指数的最小值为11.64． 点评:以线性规划形式出现的不等式.重在考查数形结合的解题能力．这种题目解题时要注意根据已知不等式组作出图形分析求解． 3．以简易逻辑为背景的不等式 以简易逻辑为背景的不等式,解题时往往以不等式为工具.来确定命题.用简易逻辑知识解决问题． 例19．设.则是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解: 由题设可得: 故选A． 点评:本题主要考查利用不等式和简易逻辑知识解决问题的能力． 4．与函数知识结合的不等式 例20．(2008年泉州一中高中毕业班适应性练习)已知函数.的单调区间,(2)若当时.不等式f (x)<m恒成立.求实数m的取值范围,(3)若关于x的方程在区间[0, 2]上恰好有两个相异的实根.求实数a的取值范围． 解:(1)函数的定义域为.∵ .由.得x>0,由.得. ∴ f (x)的递增区间是.递减区间是. (2)∵ 由.得x=0,x=-2 由在上递减.在上递增. 又 . , 且. ∴ 当时.f (x)的最大值为. 故当时.不等式f (x)<m恒成立. (3)方程, . 记, ∵ , 由,得x>1或x<-1. 由, 得. ∴ g(x)在[0,1]上递减, 在[1,2]上递增. 为使方程在区间[0, 2]上恰好有两个相异的实根. 只须g(x)=0在[0,1]和上各有一个实数根,于是有 ∵ , ∴ 实数a的取值范围是 . 点评:与函数知识结合的不等式.解题时往往以不等式为工具.结合函数知识.通过推理来解决问题． 5.与平面向量知识结合的不等式 与平面向量知识结合的不等式,解题时往往以不等式为工具, 结合平面向量知识和坐标运算,通过和坐标运算和推理来解决问题. 例21．在△ABC中.O为中线AM上的一个动点.若AM＝2.则的最小值是 . 解法一:如图, = 即的最小值为:-2. 解法二:选取如图等腰直角三角形ABC.由斜边上的中线AM=2. 则A(0,0) ,B(2,0), C(0,2, M(, 设O(x,y), (且x=y, x).则 =( = =. 设f(x)=4x2-4,,结合二次函数图像知:当x=时, f(x)min=4 点评:本题考查了向量与解析几何知识交汇问题.可利用向量的性质结合均值不等式知识综合求解,或者选取特殊三角形.把向量式转化为二次函数关系式.利用二次函数求出其最小值． 6．与函数的导数知识结合的不等式 与函数的导数知识结合的不等式.解题时往往以不等式和函数的导数为工具. 结合函数知识,通过推理来解决问题． 例22．(山东省淄博市2008年5月高三模拟试题)已知函数在是增函数,在求.的表达式, (II)求证:当时,方程有唯一解,(III)当时,若在∈内恒成立,求的取值范围． 解:(I).依题意在上恒成立 即 在上恒成立.∵ (.∴① 又 依题意在时恒成立, 即,恒成立 ∵ ().∴ ②.由①.②得 ∴ 可知,方程, 设, 令,并由得 解得 令由 列表分析: - + 递减 递增 知在处有一个最小值0.当时,＞0 ∴ 在上只有一个解 即当x＞0时,方程有唯一解． (III)设 则 ∴ 在上为减函数.∴ 又 所以为所求范围． 点评:本小题考查函数的导数.函数.函数极值的判定.给定区间上二次函数的最值等基础知识的综合运用.考查就数形结合的数学思想分析问题.解决问题的能力． 7．与数列知识结合的不等式 与数列知识结合的不等式,解题时往往以不等式和数列知识结合为工具, 结合函数知识,通过计算和推理来解决问题. 例23．(安徽省皖南八校2008届高三第三次联考)数列的首项=1.前项和为满足(常数.)．(1)求证:数列是等比数列.(2)设数列的公比为.作数列.使.(2.3.4.-).求数列的通项公式,(3)设.若存在.且, 使(-).试求的最小值． 解:(1)①.当时. ② ①-②得.即 由①. .∴,又符合上式. ∴是以1为首项.为公比的等比数列． 知.∴().∴.又.即..∴数列是为1首项.为公比的等比数列．∴.∴． 知.则. ∴-= = ∴.∴. ∵.∴.. 又∵.∴的最小值为7． 点评:本小题主要是考查等差数列.数列求和.不等式等基础知识和基本的运算技能.考查分析问题能力和推理能力． 8．与立几知识结合的不等式 例25．在中..分别为边上的点.且.沿将折起(记为).使二面角为直二面角．⑴当点在何处时.的长度最小.并求出最小值,⑵当的长度最小时.求直线与平面所成的角的大小,⑶当的长度最小时.求三棱锥的内切球的半径． 解法一:⑴连接.设.则.因为.所以.故.从而.故.又因为.所以.当且仅当取等号.此时为边的中点.为边的中点.故当为边的中点时.的长度最小.其值为, ⑵连接.因为此时分别为的中点.故.所以均为直角三角形.从而.所以即为直线与平面所成的角.因为.所以即为所求, ⑶因.又.所以．又.故三棱锥
网址：http://m.1010jiajiao.com/timu_id_4051147[举报]