摘要：[题7](2010年高考安徽卷理科10)设是任意等比数列.它的前项和.前项和与前项和分别为.则下列等式中恒成立的是 A. B. C. D. [分析]这道题如果坚持从通法入手将是十分困难的.可是如果选用特值.则相当简单. [解析1]取等比数列,令.则其前n项.前2n项.前3n项和依次为.代入验算.只有选项D适合.故选D. R:在我们那里.这种纯粹利用数字代替得到的答案.被认为是有投机取巧之嫌的.古老师怎么看呢? 古:对于四选一的选择题.这种解法完全合理.在题设4个选项中.不论用什么手段.只要能够否定其中的3个.第4个就必然正确. 当然.在平时讲课时.为了解除学生对答案的疑虑.我们还会与他们探讨正面的证法. [解析2]以上用特值法得到的结论证明如下: 设此等比数列前n项和为a,次n项和为b,再n项和为c,那么a,b,c也成等比数列.即. ∵X=a,Y=a+b,Z=a+b+c,∴ 已证即成立. Q:古老师讲的这两道题又是选择题.如果是填空题.无选项可以否定.特值法还有效吗? 古:这方面的例子也很多.最突出的是05年的一道考题: [题8]如图1.直三棱柱ABC-A1B1C1中.P.Q分别是侧棱AA1.CC1上的点.且A1P=CQ,则四棱锥 B1-A1PQC1的体积与多面体ABC-PB1Q的体积比值为 . 解法:取特值0.如题8图2.令A1P=CQ=0.则多面体蜕变为四棱锥C-AA1B1B.四棱锥蜕化为三棱锥C-A1B1C1. 显然.∴:. 这道题如果强调用通法去做.大概只能实行割补了.其计算量又大又笨重.何苦一定让学生去遭这份罪呢? R:这道题虽然好.可惜不是数列题.请教古老师.如下这题也能够用特值法吗? [题9]在等差数列中...则 . 古:这道题我曾经给学生讲过.我的解法是: [解析]考察题目的条件.的等差中项.的等差中项. ∴得同理:.于是 . 我自认为这个解法是很妙的.不想一个学生的表情异样.似乎不屑一顾的样子.我知道他必定有话要说.就鼓励他发言.她说:“既然是一道小题.何必这样正儿八经地去解?不妨设这个等差数列的通項为.那么.比较3个数据.. 这种解法我事先的确不曾想到.于是我问她:你是用特值法做的.你的结论只能算是一种猜想.你就不担心你会猜错吗? P,Q,R急问:她怎么说? 古:她语出惊人:题目给出的条件是等差数列,那么它的结论对一切等差数列都应该适用.假如我取特值由这个简单的等差数列得到的结论反而错了,那说明题目本身就有问题. P:以下是2010年高考天津卷理科6题及有人在网上提出的解法.请教古老师.你认为这个解法合理吗? [题10]已知{}是首项为1的等比数列.是{}的前n项和.且.则数列的前5项和为 (A)或5 (B)或5 (C) (D) [解析]设等比数列的公比为.则当公比时.由得..而 .两者不相等.故不合题意,当公比时.由及首项为1得: .解得.所以数列的前5项和为.故选C. 古:这种解法还是通法.总体上也说得过去.但是存在如下2个弱点.1.进行了可以避免的讨论,2.仅求前5项和.而两次使用了求和公式.所以解法过繁.质量不算高.以下的解法是否更好些? [解析2]设此等比数列前3项和为a,次3项和为b.那么即.已知{}的首项为1.所以数列的前5项和为=.选C. P:古老师的解法不仅计算简单.还无须进行讨论.特技的优越性可见一斑. Q: 2010.天津一中四月考的第4题及有人提供的解法是: [题11]设等差数列的前n项和为.若.则( ) A．18 B．17 C．16 D．15 [解析1]设这个等差数列的公差为d,那么: ∴,故选A. 请教古老师.解这样的题也能够使用特技吗? 古:这种解法还是通法.也比较简便.不过一道好题总是有题外之意.弦外之音的.继续发掘不仅可以最大限度地发挥它的能量.还能提升学生的解题能力.以下解法.仅供参考. [解析2]这个数列连续4项的和组成的数列还是等差数列.设 则 注意到是的等差中项.故.选A. R:古老师的教学模式.总是先通法.再特技吗? 古:就数学教学而言.仅有以上两步是不够的.还需要培养学生寻根建模的能力. 在数学解题中.我们将那些源于基础.又高于基础.还有广泛应用价值的优秀试题称为题根. 每一个数学题根及其解题思想方法.都能够成为一种有效的解题模型. 不过.这应该是另一个专题的内容.以后有机会时再与各位探讨吧. P:今天我们受益非浅.最后请万校长作一个总结吧. 万:今天主要与各位讨论通法与特技之间的关系.我们的看法是:1.通性通法主要体现共性, 特技术特法则主要体现个性. 世间万物包括数学在内,正因为有了个性才得以千姿百态,丰富多彩. “一花独放不是春,百花开放春满园 .所以淡化特殊技巧的提法,我们以为是不妥的.

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