已知椭圆＋＝1（a>b>0)上的点M (1, )到它的两焦点F₁，F₂的距离之和为4，A、B分别是它的左顶点和上顶点。

(Ⅰ)求此椭圆的方程及离心率；

(Ⅱ)平行于AB的直线l与椭圆相交于P、Q两点，求|PQ|的最大值及此时直线l的方程。

【解析】本试题主要是考查椭圆的方程和椭圆的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。联立方程组，结合韦达定理求解和运算。

已知椭圆＋＝1（a>b>0)上的点M (1, )到它的两焦点F₁，F₂的距离之和为4，A、B分别是它的左顶点和上顶点。
(Ⅰ)求此椭圆的方程及离心率；
(Ⅱ)平行于AB的直线l与椭圆相交于P、Q两点，求|PQ|的最大值及此时直线l的方程。

【解析】本试题主要是考查椭圆的方程和椭圆的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。联立方程组，结合韦达定理求解和运算。

（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）

（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？

若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。

解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。

（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）

（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？

若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。

解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。

（本题20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题6分，第4小题4分）

         我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题。

   （1）设F₁、F₂是椭圆的两个焦点，点F₁、F₂到直线的距离分别为d₁、d₂，试求d₁·d₂的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系。

   （2）设F₁、F₂是椭圆的两个焦点，点F₁、F₂到直线        （m、n不同时为0）的距离分别为d₁、d₂，且直线L与椭圆M相切，试求d₁·d₂的值。

   （3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明。

   （4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证明）。