Question

已知双曲线x²－y²＝2的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交与A、B两点，点C的坐标是(1，0)．

(Ｉ)证明为常数；

(Ⅱ)若动点(其中O为坐标原点)，求点M的轨迹方程．

Answer 1

答案：
解析：

由条件知，设，． 　　(I)当与轴垂直时，可设点的坐标分别为，， 　　此时． 　　当不与轴垂直时，设直线的方程是． 　　代入，有． 　　则是上述方程的两个实根，所以，， 　　于是 　　 　　 　　． 　　综上所述，为常数． 　　(II)解法一：设，则，， 　　，，由得： 　　即 　　于是的中点坐标为． 　　当不与轴垂直时，，即． 　　又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得 　　，即． 　　将代入上式，化简得． 　　当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程． 　　所以点的轨迹方程是． 　　解法二：同解法一得　　① 　　当不与轴垂直时，由(I) 有．　　② 　　．　　③ 　　由①②③得．　　④ 　　．　　⑤ 　　当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有 　　．整理得． 　　当时，点的坐标为，满足上述方程． 　　当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程． 　　故点的轨迹方程是．